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Zeige Vektorraum der Matrizen
Universität / Fachhochschule
Tags: Lineare Abbildungen, Matrix, Vektorraum
 
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Hallo, ich will zeigen, dass die Menge der Matrizen einen Vektorraum bilden. Also zeige ich die 3 Unterraumkriterien. Jetzt soll ich aber noch die Dimension dieses Vektorraums angeben. Hier bin ich etwas unsicher. Hierzu habe ich die Matrix "gleich nullgesetzt" und das ganze mit dem Gaußalgorithmus auf stufenform gebracht. Also habe ich die Elemente der Mattix als Basis angenommen und überprüft ob diese linearunabhängig ist und dann die Anzahl der linearunabhängigen Vektoren als Dimension angegeben. Meine Frage ist ob ich die Elemente und überhaupt als Basisvektoren annehmen kann, und wenn wieso. Also bin dankbar für Aufklärung MFG supertramp Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hi, nein, das geht nicht. Du hast einfach die Matrix auseinander genommen und aus ihr zwei 2-dimensionale Vektoren gemacht. Wenn du diese Linearkombinierst, dann bekommst du wieder einen 2-dimensionalen Vektor heraus. Das hat leider nichts mit 2x2-Matrizen zu tun :-) Darüber hinaus kannst du sogar gar nicht so einfach zeigen, dass diese Vektoren linear unabhängig sind, denn das hängt von der Wahl von und ab, und die können ja mit Sicherheit beliebig sein. Der Raum der 2x2-Matrizen ist 4-dimensional, da man eine Basis mit 4 Elementen angeben kann (z.B. die Menge der Matrizen, die überall 0 und an einer Stelle 1 sind). Damit kann dein Raum auch maximal die Dimension 4 haben. Da es sich aber um einen echten Untervektorraum handelt (z.B. sind die 2x2-Matrizen, die oben rechts einen Eintrag ungleich 0 haben nicht im betrachteten Raum drin), kann die Dimension dementsprechend nur noch maximal 3 sein. Jetzt solltest du also im Zweifelsfall probieren. Nimm erst eine Matrix ungleich der Nullmatrix aus dem Raum und schau, ob sie ein Erzeugendensystem bildet (lineare Unabhängigkeit muss hier nicht getestet werden). Ist das nicht der Fall, nimm eine zweite Matrix aus dem Raum, teste auf lineare Unabhängigkeit und wenn sie linear unabhängig sind, ob sie ein Erzeugendensystem bilden. Wenn letzteres nicht der Fall ist, nimmst du eine 3. linear unabhängige Matrix aus dem Raum usw. Gruß Sina |
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Hallo Sina, erstmal vielen Dank für deine Antwort. Also ich sehe schon, dass ich da was falsch verstanden habe. Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe muss ich erstmal eine mögliche Basis für diesen Vektorraum finden. Also habe ich als Basis gewählt: Jetzt noch auf lineare unabhängigkeit prüfen. Also wie kann ich die Basis Matrizen kombinieren um auf die 0-Matrize zu kommen. Daraus mach ich folgendes: Also linear unabhängig, weil man die 0_Matrix nur konstruieren kann, wenn a und b gleich 0. Oder? |
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Ja, genauso macht man das. Die meisten kommen nicht auf die Idee, die Matrix umzuschreiben. So findet man nämlich spielend einfach ein Erzeugendensystem. Und den Nachweis der linearen Unabhängigkeit hast du ja erbracht, also hast du eine Basis. |
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OK. Danke nochmal. |
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