 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Gradient Stetiger Funktion Zeigen
Gradient Stetiger Funktion Zeigen
Universität / Fachhochschule
Differentiation
Tags: Differentiation, Funktion, Gradient, Kritischer Punkt, stetig, Stetigkeit
 
|
  |
|---|
|
Guten Abend zusammen, ich bin gerade auf folgende Aufgabe gestoßen und komme nicht weiter: Sei → eine -Funktion. Angenommen für alle mit ∥x∥=1. Zeigen Sie, dass es ein p∈ mit ∥p∥<1 gibt, sodass ∇f(p) Ich bin dankbar für jede Hilfe und euch noch einen schönen Abend 〜 Minusmann Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff) Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
|
 |
|
Hallo, eine Möglichkeit dies zu beweisen, ist zu zeigen, dass f ein Extremum für ein annnehmen muss. Dabei helfen Sätze über die Eigenschaft stetiger Funktionen auf Kompakta bzgl. Maximum und Minimum. |
 |
|
Ich hatte auch überlegt hier mit Kompaktheit zu argumentieren, aber die Menge llpll<1 ist doch offensichtlich nicht kompakt. LG Minunsmann |
|
|
|
Das ist richtig. Operiere daher mit . |
|
|
|
Aber dann kann das Extremum doch auch auf dem Rand liegen, was ja nach Aufgabenstellung ausgeschlossen sein soll. |
|
|
|
Führe eine Fallunterscheidung durch je nachdem ob das Supremum von f über D echt größer als 0 ist oder nicht. Berücksichtige, dass f am Rand von D gleich 0 ist. |
|
|
|
Was hat das dann mit dem Minima bzw. Maxima von zu tun? |
|
|
|
In meinem ersten Beitrag habe ich eine mögliche Beweisstrategie vorgeschlagen: Zeige, dass eine Funktion f mit den angegebenen Eigenschaften wie im Aufgabentext, ein Extremum in aufweist. Denn an der Stelle eines Extremums verschwindet der Gradient, folglich ist man fertig sobald man nachweisen kann, dass ein Extremum in U vorliegt. |
|
|
|
Meine Frage geht ja gerade darum, zu zeigen, dass ein Extremum vorliegt. |
|
|
|
Also gehen wir es beide Schritt für Schritt durch, für sei Warum existiert M? Wird das Supremum für ein angenommen? Wie groß ist M mindestens? |
|
|
|
existiert und wird angenommen, da kompakt ist. ist mindestens 0. |
|
|
|
Gut (ich nehme an mit U war eigentlich D gemeint, und weil f eben stetig ist). Also wissen wir nun Nun müssen wir nur mehr sicherstellen, dass nicht am Rand liegt. Führen wir eine Fallunterscheidung durch, also: und Was kann man über für den Fall herausfinden? |
|
|
|
Ist so ist xm nicht auf dem Rand, also llxmll . |
|
|
|
Genau.(Schreib noch einmal kurz warum nicht im Rand enthalten sein kann) D. h. im Fall haben wir ein Extremum im Inneren und sind somit fertig. Was machen wir jedoch für den Fall ? |
|
|
|
kann nicht auf dem Rand liegen, da ja f(xm)= 0 wäre und wir haben ja gesagt supremum . Der Fall kann durch einen Fall inf mit einer äquivalenten Argumentation wie bei supremum argumentiert werden, oder der Fall, inf so ist aber konst. und dann gibt es solch ein auch. |
|
|
|
Ausgezeichnet, damit ist alles bewiesen. |
 |
|
Alles klar. Vielen Danke für deine Hilfe und das du dir die Zeit genommen hast. |
1558476
1558423