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Gradient Stetiger Funktion Zeigen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, Funktion, Gradient, Kritischer Punkt, stetig, Stetigkeit

 
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Minusmann

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22:48 Uhr, 02.07.2022

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Guten Abend zusammen, ich bin gerade auf folgende Aufgabe gestoßen und komme nicht weiter:

Sei f:2 eine C1 -Funktion.
Angenommen f(x)=0 für alle x mit ∥x∥=1.

Zeigen Sie, dass es ein p∈ 2 mit ∥p∥<1 gibt, sodass

∇f(p) =0

Ich bin dankbar für jede Hilfe und euch noch einen schönen Abend 〜
Minusmann

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Domares

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14:20 Uhr, 03.07.2022

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Hallo,

eine Möglichkeit dies zu beweisen, ist zu zeigen, dass f ein Extremum für ein p<1 annnehmen muss. Dabei helfen Sätze über die Eigenschaft stetiger Funktionen auf Kompakta bzgl. Maximum und Minimum.
Minusmann

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16:01 Uhr, 03.07.2022

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Ich hatte auch überlegt hier mit Kompaktheit zu argumentieren, aber die Menge
{p2: llpll<1} ist doch offensichtlich nicht kompakt.

LG Minunsmann
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Domares

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16:30 Uhr, 03.07.2022

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Das ist richtig. Operiere daher mit D:={p2p1}.
Minusmann

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16:33 Uhr, 03.07.2022

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Aber dann kann das Extremum doch auch auf dem Rand liegen, was ja nach Aufgabenstellung ausgeschlossen sein soll.
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Domares

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16:52 Uhr, 03.07.2022

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Führe eine Fallunterscheidung durch je nachdem ob das Supremum von f über D echt größer als 0 ist oder nicht. Berücksichtige, dass f am Rand von D gleich 0 ist.
Minusmann

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17:25 Uhr, 03.07.2022

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Was hat das dann mit dem Minima bzw. Maxima von f zu tun?
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Domares

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17:53 Uhr, 03.07.2022

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In meinem ersten Beitrag habe ich eine mögliche Beweisstrategie vorgeschlagen: Zeige, dass eine Funktion f mit den angegebenen Eigenschaften wie im Aufgabentext, ein Extremum in U:={x2x<1} aufweist.
Denn an der Stelle eines Extremums verschwindet der Gradient, folglich ist man fertig sobald man nachweisen kann, dass ein Extremum in U vorliegt.
Minusmann

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17:56 Uhr, 03.07.2022

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Meine Frage geht ja gerade darum, zu zeigen, dass ein Extremum vorliegt.
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Domares

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18:10 Uhr, 03.07.2022

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Also gehen wir es beide Schritt für Schritt durch, für D:={x2x1} sei
M:=supxDf(x)
Warum existiert M?
Wird das Supremum für ein xD angenommen?
Wie groß ist M mindestens?
Minusmann

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18:12 Uhr, 03.07.2022

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M existiert und wird angenommen, da U kompakt ist. M ist mindestens 0.
Antwort
Domares

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18:21 Uhr, 03.07.2022

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Gut (ich nehme an mit U war eigentlich D gemeint, und weil f eben stetig ist).
Also wissen wir nun xMD:f(xM)=M
Nun müssen wir nur mehr sicherstellen, dass xM nicht am Rand liegt.
Führen wir eine Fallunterscheidung durch, also: M>0 und M=0
Was kann man über xM für den Fall M>0 herausfinden?
Minusmann

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12:43 Uhr, 04.07.2022

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Ist M>0 so ist xm nicht auf dem Rand, also llxmll <1.


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Domares

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12:52 Uhr, 04.07.2022

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Genau.(Schreib noch einmal kurz warum xM nicht im Rand enthalten sein kann)
D. h. im Fall M>0 haben wir ein Extremum im Inneren und sind somit fertig.
Was machen wir jedoch für den Fall M=0?
Minusmann

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13:38 Uhr, 04.07.2022

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M kann nicht auf dem Rand liegen, da ja f(xm)= 0 wäre und wir haben ja gesagt supremum f>0.
Der Fall M=0 kann durch einen Fall inf <0 mit einer äquivalenten Argumentation wie bei supremum argumentiert werden, oder der Fall, inf =0, so ist aber f konst. =0 und dann gibt es solch ein p auch.
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Domares

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13:40 Uhr, 04.07.2022

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Ausgezeichnet, damit ist alles bewiesen.
Frage beantwortet
Minusmann

Minusmann aktiv_icon

13:45 Uhr, 04.07.2022

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Alles klar. Vielen Danke für deine Hilfe und das du dir die Zeit genommen hast.