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Zeige, dass R ein Körper ist
Universität / Fachhochschule
Ringe
Tags: Ring
 
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anonymous 21:42 Uhr, 05.12.2016  |
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Definition: Sei (R,+,⋅) ein kommutativer Ring mit Einselement. heißt nullteilerfrei, wenn für alle ,b∈R aus a⋅b=0 stets oder folgt. 1. ) Sei ein kommutativer Ring mit Einselement Zeigen Sie: Ist ein nullteilerfreier Ring mit 1≠0 und gilt ∣R∣<∞, dann ist ein Körper. ( Betrachten Sie zu a∈R∖0} die Abbildung R→R, x↦ax ) Gilt die Implikation aus auch, wenn man die Bedingung ∣R∣<∞ weglässt ? Gilt die Implikation aus auch, wenn man die Bedingung ist nullteilerfrei weglässt? Kann mir da jm weiterhelfen wie es beweisen soll ? In 1 müssten ja alle axiome eines Körpers bewiesen werden ich müsste doch nur die existenz eines multiplikativen Inversen beweisen oder ? mit dem Hinweis kann ich leider nichts anfangen ? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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Hallo, überlege, welche einzige Eigenschaft einem kommutativen, nullteilerfreien Ring mit 1 noch fehlt, damit er als Körper durchgeht. Wenn dir das klar ist, betrachte für ein beliebiges mit die Abbildung Zeige, dass die Abbildung injektiv ist. Schließe daraus, dass die Abbildung AUCH surjektiv ist (hier geht ein) und schließe daraus die einzig fehlende Eigenschaft von an einem Körper. Für 2) und 3) lassen sich leicht Gegenbeispiele finden! Ok, sehe gerade, dass du schon erkannt hast, dass es um (multiplikative) Inverse geht. Sehe auch erst jetzt, dass du einen Hinweis gegeben hast. Dazu habe ich dir ja nun einen weiteren Tipp gegeben. Mfg Michael |
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anonymous 22:31 Uhr, 05.12.2016 |
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wie kann ich denn zeigen, dass die Abbildung injektiv ist ? |
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Hallo, ja, hast du es denn schon probiert? Gehe halt von aus (konkretisiere) und zeige, dass dann gelten muss. Das solltest du mittlerweile schon hinbekommen. Wenn dir für das "zeige, dass" Ideen fehlen, schau doch mal bei den Voraussetzungen, was man da alles verwenden kann. Mfg Michael |
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anonymous 09:52 Uhr, 06.12.2016 |
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Dankeschön für deine Hilfe :-) |
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Hallo, wenn du die Aufgabe lösen konntest, wäre es für die anderen toll, wenn du die Lösung hier teiltest. (Geben und nehmen) Mfg Michael |
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