 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Zeige, dass die Abbildung wohldefiniert ist?
Zeige, dass die Abbildung wohldefiniert ist?
Universität / Fachhochschule
Relationen
Tags: Abbildung, ggT, Relation., restklassen
 
|
  |
|---|
|
Guten Abend! Ich habe folgendes Problem. Ich soll beweisen, dass die unten auf dem Foto gezeigte Abbildung wohldefiniert. Wohldefiniert haben wir nur noch nie wirklich definiert. Ich weiß, dass man es vielleicht mit eindeutig oder auch sinnvoll definiert umschreiben kann. Trotzdem hilft mir diese Umschreibung nichts bei der Aufgabe. Kann mir vielleicht einer einen Tipp oder Lösungsansatz nennen? Also am Rande noch: ∈ ist ungleich 0 und ggT(k, ist der eindeutige positive größte gemeinsame Teiler von und Vielen Dank schon einmal im Voraus! Mit freundlichen Grüßen  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
|
 |
|
Hallo, tja, die Wohldefiniertheit... In diesem Falle geht es darum, dass eine Abbildung von einer Menge, deren Elemente selbst wieder Mengen sind, ausgeht. Und nun wird die Abbildung einer Restklasse durch irgendeinen Vertreter der Restklasse erklärt! Da darf man doch wohl die Frage stellen, ob aus schon gilt. Und genau das musst du nachweisen! Mfg Michael |
 |
|
Danke für die schnelle Antwort. Also nehme ich jetzt an, dass eine weitere Restklasse sei und dann stelle ich die Behauptung auf, dass wenn der ggt(k,m)=ggT(l,m). Das verstehe ich, wir wollen ja auch zeigen, dass der ggT der eindeutige ggT ist. Aber folgt dann nicht direkt, dass ggT(k,m)=ggT(l,m) gilt, da ja nullteilerfrei und auf die natürlichen Zahlen abbildet? Ich wüsste zwar nicht, wie ich es aufschreiben sollte oder denke ich zu einfach? |
|
|
|
Hallo, > Aber folgt dann nicht direkt, dass ggT(k,m)=ggT(l,m) gilt, da Zm ja nullteilerfrei [...] Nö, in ist ein Nullteiler. > [...] oder denke ich zu einfach? Hm, schwierig zu bewerten. Ich würde sagen, du denkst einfach falsch. Du musst folgern. Und ganz sicher (!) (oder sagt man heute vielleicht doch lieber safe?) habt ihr so etwas in der Vorlesung gehabt. Mfg Michael |
|
|
|
Stimmt. Da hab ich ganz, ganz falsch gedacht!! Also den ggT haben wir in der Vorlesung nicht definiert. Ich weiß nur, dass ich k]={k+am aus schreiben kann. Kann ich dann damit versuchen zu folgern, dass das für den ggT auch gilt? Oder bin ich wieder auf dem falschen Fuß |
|
|
|
Hallo, also, wenn ihr keinen Satz, kein Lemma, kein Theorem über die Eigenschaften des ggT hattet, dann geh zum Aufgabensteller und frage ihn wie er sich das vorstellt. Natürlich kann ich dir hier eine Lösung hinschreiben. Das kann ja aber nicht Sinn der Aufgabe sein?! Statt a in > [k]={k+am la aus Z} habe ich eben ein >> ggT(k,m)=ggT(k+z⋅m,m) geschrieben. Klar, damit geht es. Aber wenigstens eine Definition muss man haben. Mfg Michael |
|
|
|
Hallo, ich hab nochmal die ganze Vorlesung durch geblättert und da ist nichts drin gewesen, habe aber gesehen, dass wir es auf einen der ersten Übungsblätter definiert haben. Sorry für das Hin und Her, hab’s nicht mehr parat gehabt. Also ein ggT von und ist ein gemeinsamer Teiler von und sodass für jeden gemeinsamen Teiler von und gilt: Wenn ich jetzt voraussetze, dass mit für aus Z. Dann muss ich nun zeigen, dass e1=ggT(k,m)=ggT(k+z*m)=e2 ist und das mache ich, indem ich zeige, dass und teilt? MfG |
|
|
|
Hallo, korrekt. Im Falle einer Aussage der Art reicht es auch zu zeigen, dass jeder GEMEINSAME Teiler von auch ein GEMEINSAMER Teiler von ist und umgekehrt. Das wäre in diesem Falle einfacher. Mfg Michael |
 |
|
Vielen vielen Dank! Dann bin ich jetzt auf dem richtigen Weg! Mit freundlichen Grüßen |
|
|
|
Hallo, bedenke, dass sich jemand wie du sicher gefreut hätte, in diesem Forum eine korrekte Lösung zu finden. Vielleicht generierst du sie hier? Mfg Michael |
|
|
|
Klar, ich kann es versuchen, hab leider nur im Moment die Lösungsskizze im Kopf. Also wenn [k]=[l], dann gilt l=k+z*m für ein z aus Z. Also ist zu zeigen d_1=ggT(k,m)=ggT(k+z*m,m)=d_2. Also zz: 1. d_1|d_2 und 2. d_2|d_1 1. Da d_1=ggT(k,m) gilt d_1|k und d_1|m, also ex.k‘,m‘ aus Z mit k=k‘d_1 und m=m‘d_1 Zu zeigen d_1| k+z*m, d_1|m, wenn d_1=ggT(k,m) Betrachte k+zm=k‘d_1+zm‘d_1= (k‘+zm‘)d_1, also d_1|k+zm und d_1|m ist klar. Also ist d1 gem. Teiler von k+zm und m. Da d2 ggT von k+zm und m ist, gilt nach Definition: d1|d2 2. Da d_2=ggT(k+zm,m) gilt d_2|k+zm und d_2|m, also ex.k‘‘,m‘‘aus Z mit k=k‘‘d_2 und m=m‘‘d_2 Zu zeigen d_2| k, d_2|m, wenn d_2=ggT(k+zm,m) Da k+zm=k‘‘d_2 und m=m‘‘d_2 gilt: k+zm‘‘d_2= k‘‘d_2 <=> k=(k‘‘+zm‘‘)d_2, also d_2|k und d_2|m ist klar. Also ist d2 gem. Teiler von k und m. Da d1 ggT von k und m ist, gilt nach Definition: d2|d1 Aus d1=d2 und d2|d1, folgt d1=d2 Hab glaube ich mehr gemacht als nötig, bin mir auch nicht ganz sicher, ob alles so richtig ist, aber das wäre jetzt mein Ansatz |
1489232
1489044