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Zeige, dass die DGL exakt ist

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

ChristopherME aktiv_icon

19:54 Uhr, 22.06.2014

Hallo,

ich habe Schwierigkeiten mit folgender Aufgabe :

Zeigen Sie, dass die DGL exakt ist und bestimmen Sie dann die Lösung mit dem Anfangswert

y (0) = 2

x + 3 y^{2} y' = 0

Mein Ansatz :

g (x, y) = x h (x, y) = 3 y^{2}

g_{x} = 1 h_{y} = 6 y \to

nicht exakt, es wird ein integrierender Faktor benötigt :

g^{⋆} (x, y) = g (x, y) \cdot λ (x)

h^{⋆} (x, y) = h (x, y) \cdot λ (x)

g_{x}^{⋆} =! h_{y}^{⋆} \Rightarrow

x \cdot λ' (x) + λ (x) = 6 y λ (x)

λ' (x) = \frac{λ (x) (6 y - 1)}{x}

\frac{d λ}{d x} = \frac{λ (x) (6 y - 1)}{x} \Rightarrow \frac{d λ}{λ (x)} = \frac{6 y - 1}{x} d x \Rightarrow ln | λ | = ln | x | \cdot 6 y - 1

λ = x \cdot e^{6 y - 1}

wenn ich das nun in

g^{⋆}

und

h^{⋆}

einfüge, sind beide trotzdem nicht exakt.

ich erhalte für

h_{y}^{⋆} = e^{6 y - 1} (18 x y^{2} + 6 x y)

und für

g_{x}^{⋆} = e^{6 y - 1} \cdot 2 x

Ich finde meinen Fehler einfach nicht...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Mathe-Steve aktiv_icon

20:43 Uhr, 22.06.2014

Hallo,
war das nicht so:

$x = g (x, y) = \frac{\partial}{\partial x} F (x, y) \Rightarrow F (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C_{y}$

$3 y^{2} = h (x, y) = \frac{\partial}{\partial y} F (x, y) \Rightarrow F (x, y) = y^{3} + C_{x}$

$F (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + y^{3} + C \Rightarrow$ exakt?

Gruß

Stephan

Loewe1

21:21 Uhr, 22.06.2014

Hallo,

@ ChristopherME

das stimmt nicht , die DGL ist exakt.

Beweis:

x + 3 y^{2} \frac{d y}{d x} = 0 | \cdot d x

x \cdot d x + 3 y^{2} d y = 0

P = x

Q = 3 y^{2}

P_{y} = 0

Q_{x} = 0

P_{y} = Q_{x}

o------------>exakte DGL.

ChristopherME aktiv_icon

22:00 Uhr, 22.06.2014

ist das nicht hinfällig, weil

P_{x}

und

Q_{y}

da ungleich sind ?
Kann ich mir das aussuchen, ob ich zu

y

oder

x

differenziere bei

P

und

Q,

solange es jeweils das andere ist?

Loewe1

22:31 Uhr, 22.06.2014

Hallo,

Das ist die sogenannte Integrabilitätsbedingung
Die ist erfüllt bei:

P_{y} = Q_{x}

Das ist so definiert.

ChristopherME aktiv_icon

23:22 Uhr, 22.06.2014

es gilt also bei zB

g (x, y) + h (x, y) y' = 0,

dass

g = P

und

h = Q

ist?

Loewe1

23:27 Uhr, 22.06.2014

So ist es.

ChristopherME aktiv_icon

23:29 Uhr, 22.06.2014

und wieder danke :-)

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