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Zeige , dass ex(cos(y) + i sin(y)) = ∑zn/n! gilt

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen, reih, Reihenentwicklung

franzlun aktiv_icon

11:02 Uhr, 28.01.2022

Hallo, ich bräuchte bei einer Aufgabe Eure Hilfe:

Aufgabe:

e^{z} := e^{x} (cos (y) + i sin (y)) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!}

für alle

z = x +

iy ∈ ℂ

Man solle die Gleichheit mit den Taylorreihen von

e^{x},

sinus und cosinus zeigen.

Meine Idee:

die Taylorreihen von den Funktionen sind doch

e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}

sin y = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \cdot \frac{y^{2 \cdot n}}{2 n!}

cos y = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \cdot \frac{y^{2 \cdot n + 1}}{2 n + 1!}

muss ich dann die Taylorreihen in

e^{x} (cos (y) + i

sin(y))einsetzen und solange umformen, bis ich am Ende die Form

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!}

erreicht habe?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

11:04 Uhr, 28.01.2022

www.matheboard.de/thread.php?threadid=601101

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