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Zeige, dass f einen Fixpunkt besitzt.

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Fixpunkt, Stetigkeit

Steffen0123 aktiv_icon

18:19 Uhr, 19.01.2010

Hallo ich hätte eine Frage zum Fixpunkt.

Die Aufgabe ist:
"Es sei

f : [a, b] \to ℝ

eine stetig Funktion, für die gilt

f ([a, b]) \subset [a, b]

. Zeigen Sie, dass

f

dann einen Fixpunkt besitzt, dass also ein

x_{0} \in [a, b]

mit

f (x_{0}) = x_{0}

existiert."

Wir haben in uns in unserer Übungsgruppe schon etwas ausgedacht, sind uns aber nicht sicher, ob der "Beweis" mehr oder weniger richtig ist.
Also.

f (x)

ist eine beliebige stetige Funktion in einem abgeschlossenen Intervall

[a, b]

mit der Eigenschaft, dass alle Funktionswerte ebenfalls im Intervall

[a, b]

liegen.
Jetzt sei

g (x) = x,

welche alle Fixpunkte beinhaltet.
Dann gilt für

g (a) = a \leq f (a) \leq b

und für

g (b) = b \geq f (b) \geq a

f (x)

nie größer oder kleiner werden kann als a bzw.

b,

jedoch stetig ist und

g (x)

alle Werte zwischen a und

b

erfasst muss es zwangsläufig mindestens ein

x_{0} \in [a, b]

mit der Eigenschaft

g (x) = f (x)

geben und somit einen Fixpunkt in

f (x),

sodass also gilt

f (x_{0}) = g (x_{0}) = x_{0}

Dazu haben wir noch eine Skizze angefertigt.

Ist das okay so, oder muss das noch mithilfe eines Satzes oder eben "mathematisch" bewiesen werden?

Ich danke schonmal im Vorraus für jeden Hinweis!!

Gruß an alle Leser Steffen

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

hagman aktiv_icon

19:52 Uhr, 19.01.2010

Das geht in die richtige Richtung.
Einfacher ist es, wenn du

h (x) := f (x) - x

betrachtest - das ist auch eine stetige Funktion, es ist

h (a) \geq 0, h (b) \leq 0

und wir suchen eine Nullstelle von

h

mit dem Zwischenwertsatz.

Steffen0123 aktiv_icon

01:27 Uhr, 20.01.2010

Oh je, jetzt muss ich erstmal nachdenken.
Also.

f (x)

ist eine stetige Funktion. also ist auch

h (x) = f (x) - x

stetig.
Laut Zwischenwertsatz gibt es eine Nullstelle, wenn dann

h (a) \geq 0

und

h (b) \leq 0

Sicherlich müsste dann eine solche Nullstelle existieren, wenn der eine Funktionswert auf oder unter der x-Achse liegt, und der andere auch auf oder über der x-Achse.

Aber warum suchen wir jetzt eine Nullstelle?
Gesucht ist doch ein Fixpunkt. Fixpunkte liegen auf der Geraden

g (x) = x . .

.
Ich denke, ich verstehe den Zusammenhang zwischen

h (x) = f (x) - x

und dem Fixpunkt nicht ganz...

hagman aktiv_icon

09:09 Uhr, 20.01.2010

Dort, wo

h (x) = 0

gilt, gilt

f (x) - x = 0,

also

f (x) = x

Steffen0123 aktiv_icon

13:56 Uhr, 24.01.2010

Entschuldige, dass ich mich so lange nich gemeldet habe.

Ich versuchs mal zu verinnerlichen:
Du meinst also, ich solle nicht darüber gehen, dass

f (x)

stetig ist, sondern ich soll aus der Vorgabe

f (x)

sei stetig eine neue Funktion formen, nämlich

h (x) = f (x) - x,

die ja auch stetig ist.
Dann gibt es einen Punkt innerhalb dieses Intervalls, an dem

h (x)

eine Nullstelle hat, nämlich bei

h (x)

gleich null. Dieser Punkt existiert wirklich, durch die Definition des Zwischenwertsatzes. Also hat

h (x)

bei

h (x_{0})

eine Nullstelle und folglich hat

f (x_{0})

dann bei

x_{0}

einen Fixpunkt.

Hab ich das richtig verstanden??

Gruß und schonmal Danke im Vorraus
Steffen

hagman aktiv_icon

14:49 Uhr, 24.01.2010

Ja, genau

Steffen0123 aktiv_icon

18:22 Uhr, 24.01.2010

Oh, das ist ja super.
Dann danke ich erneut für die Hilfe!

Gruß Steffen

fbungartz aktiv_icon

21:15 Uhr, 21.11.2017

Hi, auch wenn das Thema alt ist, habe noch eine Frage zu:

"Dann gibt es einen Punkt innerhalb dieses Intervalls, an dem

h (x)

eine Nullstelle hat, nämlich bei

h (x)

gleich null. Dieser Punkt existiert wirklich, durch die Definition des Zwischenwertsatzes."

Warum beweist der Zwischenwertsatz das?

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