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Zeige, dass |x+1| < x^2+12

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: absolutbetrag, Funktion, Ungleichung

alextuernagel aktiv_icon

01:21 Uhr, 04.06.2020

Hallo, für einen Beweis könnte ich gebrauchen, dass

∣ x + 1 ∣ < x^{2} + 12

ist. (Vorausgesetzt, dass ist wahr)

Für

x = 0

ist die Ungleichung trivial.
Auch für

x > 0

gilt die Ungleichung wegen:

x < x + 11

\Rightarrow x < x^{2} + 11

\Rightarrow x + 1 < x^{2} + 12

\Rightarrow ∣ x + 1 ∣ < x^{2} + 12

Hierbei gilt die letzte Folgerung mit dem Betrag, da

x > 0

.

Allerdings habe ich Schwierigkeiten, die Ungleichung für

x < 0

zu zeigen.

Zuerst habe ich die Ungleichung zu

\sqrt{(x + 1)^{2}} < x^{2} + 12

umgeschrieben. Durch Auflösen der binomischen Formel erhält man dann

\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} < x^{2} + 12

. Ich weiß aber nicht ob - oder wenn - wie mir das weiterhelfen kann.
Auch habe ich mich an die Dreiecksungleichung erinnert:

∣ x - z ∣ \leq ∣ x - y ∣ + ∣ y - z ∣

damit komm ich aber noch weniger weiter.

Hat Jemand eine Idee für den Fall

x < 0

? Ist die Aussage wahr?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Respon

01:44 Uhr, 04.06.2020

Deine Fallunterscheidung ist nicht günstig.

1)

x + 1 > 0 \Rightarrow x > - 1

\Rightarrow

x + 1 < x^{2} + 12

x^{2} - x + 11 > 0

2)

x + 1 < 0 \Rightarrow x < - 1

\Rightarrow

- x - 1 < x^{2} + 12

x^{2} + x + 13 > 0

. .

Respon

02:01 Uhr, 04.06.2020

Falls es keine weiteren Fragen mehr gibt - Beispiel "abhaken".

alextuernagel aktiv_icon

02:07 Uhr, 04.06.2020

Wie kommt man bei 2) auf

- x - 1 < x^{2} + 12

?

Wenn das gilt, dann folgt

bei 1):

x + 11 > x

\Rightarrow x^{2} + 11 > x

bei 2):

x^{2} > - x

\Rightarrow x^{2} + 13 > - x

Für

x = 1

gilt dann

∣ x + 1 ∣ < x^{2} + 12 = 2 < 13

(wahre Aussage)

Und der Beweis wäre fertig, richtig?

Mathe45

02:11 Uhr, 04.06.2020

Für

a < 0

gilt

| a | = - a

Deine weiteren Überlegungen sind nicht notwendig, da

x^{2} - x + 11 > 0

und

x^{2} + x + 13 > 0

wahre Aussagen für alle

x \in ℝ

darstellen ( denk an Parabeln ).

alextuernagel aktiv_icon

02:21 Uhr, 04.06.2020

Mit

x < 0

folgt also aus

∣ x + 1 ∣

dann

- x - 1

Respon

02:26 Uhr, 04.06.2020

Nicht

x < 0

sondern

x + 1 < 0

Das Argument deines Betrages ist doch

x + 1

und danach musst du dich orientieren.
Also Fallunterscheidung

1) x + 1 > 0 \Rightarrow x > - 1 \Rightarrow | x + 1 | = x + 1

2) x + 1 < 0 \Rightarrow x < - 1 \Rightarrow | x + 1 | = - x - 1

3) x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1 \Rightarrow | x + 1 | = 0 (

trivialer Fall )

alextuernagel aktiv_icon

02:34 Uhr, 04.06.2020

Vielen Dank, das hat es geklärt!

HAL9000

09:48 Uhr, 04.06.2020

Es ist

0 < {(∣ x ∣ - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{43}{4} = x^{2} - ∣ x ∣ + 11

und daher

x^{2} + 12 > ∣ x ∣ + 1 \geq ∣ x + 1 ∣

,

letzteres nach Dreiecksungleichung.

1505150

1505124

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