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Zeige explizite Darstellung von Fibonacci-Folge

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Fibonacci Folge, Folgen und Reihen, Vollständig Induktion

PV999 aktiv_icon

16:47 Uhr, 21.02.2019

Moin, ich brauche hilfe bei dieser Aufgabe:

Man zeige, dass die rekursiv definierte Fibonacci-Folge

an+2 = an+1

+

an für

n

≥ 1

mit den Anfangswerten

a 1 = 1

und

a 2 = 1

folgende explizite Darstellung für

n

∈ IN besitzt:

an

= \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot ({(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n} - {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n})

Hinweis: Für den Beweis eignet sich die vollständige Induktion

Induktionsanfang:

a 1 = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot ({(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{1} - {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{1}) \Rightarrow

wahr

IV: an

= \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot ({(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n} - {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n})

IB: an+1

= \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot ({(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n + 1} - {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n + 1})

V \to B

?

Hab mir noch überlegt, das
an+2 = an+1

+

an, für

n \geq 1

ja eigentich das gleiche aussagt wie
an+1 = an

+

an-1, für

n \geq 1

ist das eventuell ein Lösungsansatz ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

16:52 Uhr, 21.02.2019

Hallo,

da du hier nach fragst, scheinst du es nicht unbedingt allein/selbst machen zu wollen.
Dann findest du einen Beweis auch auf de.wikipedia.org/wiki/Fibonacci-Folge#Induktiver_Beweis

Mfg Michael

PV999 aktiv_icon

17:26 Uhr, 21.02.2019

Wollen schon, nur bekomme ich es nicht hin... Und den link find ich leider nicht sehr hilfreich.

ledum aktiv_icon

17:39 Uhr, 21.02.2019

Hallo
da du später immer 2 aufeinanderfolgende addieren willst, musst du auch den Induktionsanfang für 1 und 2 bzw 0 und 1 machen. dann iV gilt für

n

und

n + 1

daraus folgern gilt auch für

n + 2

und dann die Addition machen und einfach nachrechnen..
Gruß ledum

michaL aktiv_icon

18:10 Uhr, 21.02.2019

Hallo,

> Und den link find ich leider nicht sehr hilfreich.

Wieso nicht? Du musst den Inhalt doch nur abschreiben?!?

Mfg Michael

PS: Ansonsten gibt es sicher weitere Beweise dazu online!
Der, den ich gesucht habe, war der zweite Treffer mit den Stichworten "fibonacci", "folge" und "beweis".
Sooo viel Mühe kannst du dir beim Suchen nicht gegeben haben. Das lässt mich Schlechtes vermuten, wenn es darum geht, den Beweis im Link zu verstehen ...

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