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Zeige: f=(f+) - (f-) und f stetig, wenn f+ & f-

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Tags: Folgen, Reihen, Sonstiges

MiaSophie aktiv_icon

18:53 Uhr, 06.06.2009

Hallo,

ich brauche mal wieder Hilfe, Folgen wachsen mir einfach über den Kopf.

Ich versteh es nicht und frage mich, ob ich es je tun werde.

Ich hoffe jemand kann mir bei diesen Aufgaben helfen, bevor ich verzweifle.

Die Aufgabe liegt als Bilddatei bei.

Liebe Grüße

MiaSophie

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

pepe1 aktiv_icon

19:48 Uhr, 06.06.2009

Zu a)einfache Fallunterscheidung:
1.Fall:Sei

f (x) \geq 0

.
Dann:

f^{+} (x) + f^{-} (x) = . .

s

. Definition
2.Fall: Sei

f (x) < 0 ...

für

| f |

analog.

b)Satz für stetige Funktionen:

(⋆ \cdot) g, h

stetig->

c_{1} \cdot g + c_{2} \cdot h

stetig;

c_{1}, c_{2}

Konstanten

Also

f^{+}, f^{-}

stetig

\to (⋆ \cdot)

1 ⋆ f^{+} + (- 1) ⋆ f^{-} = f

stetig
und umgekehrt:

f

stetig

\to | f |

stetig,
also auch nach(***)

\frac{1}{2} \cdot f + \frac{1}{2} \cdot | f | = f^{+}

stetig
Ebenso:

\frac{1}{2} \cdot (| f | - f) = f^{-}

stetig

MfG

MiaSophie aktiv_icon

00:18 Uhr, 08.06.2009

Also, jetzt bin ich doch nochmal ein bisschen verwirrt.

Welche Definition denn?

pepe1 aktiv_icon

11:27 Uhr, 08.06.2009

Zu: ..Welche Definition denn?..
siehe Bilddatei-Anhang:

f^{+}

und

f^{-}

sind definiert...

Zu

a)

Fallunterscheidung:
1.Fall:Sei

f (x) \geq 0

Dann:

(s

. Definitionen für

f^{+}

und

f^{-}

f^{+} (x) - f^{-} (x) = f (x) - 0 = f (x))

f^{+} (x) + f^{-} (x) = f (x) + 0 = f (x) = | f (x) |,

f (x) \geq 0

2.Fall: Sei

f (x) < 0

Dann:

f^{+} (x) - f^{-} (x) = 0 - (- f (x)) = f (x)

f^{+} (x) + f^{-} (x) = 0 + (- f (x)) = - f (x) = | f (x) |,

f (x) < 0

b)

verwende folgenden ( sicher bekannten und behandelten)
Satz für stetige Funktionen:

(⋆ \cdot) g, h

stetig->

c_{1} \cdot g + c_{2} \cdot h

stetig; (

c_{1}, c_{2}

Konstanten)

Sein

f^{+}, f^{-}

stetig

\to

nach

(⋆ \cdot) :

f = 1 ⋆ f^{+} + (- 1) ⋆ f^{-}

ist stetig ( siehe Teil

a),

jeweils 1. Zeile)

und umgekehrt:
sei

f

stetig, dann auch

| f |

stetig,
also nach(***)

f^{+} = \frac{1}{2} \cdot f + \frac{1}{2} \cdot | f |

stetig
Ebenso:

f^{\equiv} \frac{1}{2} \cdot (| f | - f

)stetig

Nach Teil

a)

gilt nämlich:

(1)

f^{+} (x) - f^{-} (x) = f (x)

(2)

f^{+} (x) + f^{-} (x) = | f (x) |

(1)

+ (2) : 2 \cdot f^{+} = f + | f |;

also:

f^{+} = \frac{1}{2} \cdot (f + | f |)

(2)

- (12) : 2 \cdot f^{- =} | f | - f;

also:

f^{- =} \frac{1}{2} \cdot (| f | - f);

Noch Fragen hierzu?
Übrigens: Falls ggf.auch noch Fragen zur anderen Forumsfrage:"rechts-linksseitige Stetigkeit", bitte melden.

Einen guten Tag wünsche ich.

MfG

MiaSophie aktiv_icon

09:56 Uhr, 09.06.2009

Super, danke nochmal für deine Antworten.

Ich denke ich hab jetzt alles :D

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