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Zeige mit vollständiger induktion

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Tags: Geht das so?

Luna- aktiv_icon

17:01 Uhr, 09.12.2018

Hallo ;
Siehe foto ; es ist mit vollständiger Induktion zu zeigen.
Das ist mein Versuch. Kann ich dss so machen ? Hat wer eine bessere Idee ?
Danke voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

19:18 Uhr, 09.12.2018

Hallo,

es fehlt der Induktionsanfang.

Die Grundüberlegung ist richtig. Allerdings ist ein Detail falsch, nämlich die Aussage

\sqrt{n + 1} - \sqrt{n} > 1

Durch Nachrechnen mit dem Taschenrechner kannst Du Dich überzeugen, dass das falsch ist. Du sollstest Dir auch überlegen, wie Du zu diesem falschen Schluss gekommen bist.

Das Mittel der Wahl ist, diesen Ausdruck mit

\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}

zu erweitern und dann alles abzuschätzen.

Gruß pwm

Luna- aktiv_icon

21:21 Uhr, 09.12.2018

Danke
Ich hatte einen blackout. Das ist grösser als 0 und nicht als 1.
Ich habe dann den letzten Ausdruck auf beiden seiten multipliziert : siehe foto ; doch komme dann leider nicht weiter

ermanus aktiv_icon

11:27 Uhr, 11.12.2018

Hallo,
bis zur Ungleichung (1) habe ich deine Rechnung nicht überprüft.
Nun aber zu (1):

(1) \overset{}{\Leftrightarrow} \sqrt{n} \sqrt{n + 1} + n < 2 n + 2 \overset{}{\Leftrightarrow} \sqrt{n^{2} + n} < n + 2 \overset{}{\Leftrightarrow} n^{2} + n < (n + 2)^{2} = n^{2} + 4 n + 4

.
Die letzte Ungleichung ist zweifellos wahr.
Ein Rat an dich: bei der Herleitung oder äquivalenten Umformung
verwende (auch in deiner Kladde) stets Folge- oder Äquivalenzpfeile,
damit der logische Zusammenhang klar ist.
Gruß ermanus

HAL9000

11:28 Uhr, 11.12.2018

Du solltest ein wenig zielgerichteter vorgehen: Ziel ist doch, die zu beweisende Ungleichung solange äquivalent umzuformen, bis eine erkennbar wahre Aussage dasteht. Zu diesem Zweck will man irgendwie alle Wurzeln loswerden - und das zügig, ohne langes Rummäandern! Also los:

3 - \frac{2}{\sqrt{n}} + \frac{1}{(n + 1) \sqrt{n + 1}} \overset{!}{<} 3 - \frac{2}{\sqrt{n + 1}}

\frac{2}{\sqrt{n + 1}} + \frac{1}{(n + 1) \sqrt{n + 1}} \overset{!}{<} \frac{2}{\sqrt{n}} ∣ \cdot \sqrt{n} \sqrt{n + 1} (n + 1)

(2 n + 3) \sqrt{n} \overset{!}{<} 2 (n + 1) \sqrt{n + 1} ∣ ()^{2}

(2 n + 3)^{2} n \overset{!}{<} 4 (n + 1)^{3}

4 n^{3} + 12 n^{2} + 9 n \overset{!}{<} 4 n^{3} + 12 n^{2} + 12 n + 1

0 < 3 n + 1

Die letzte Zeile sollte dann erkennbar richtig sein.

Luna- aktiv_icon

20:33 Uhr, 11.12.2018

Alles klar ! Vielen herzlichen Dank !

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