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Zeige sup(-A) = -inf (A)

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

fersmarc2012 aktiv_icon

15:45 Uhr, 20.11.2023

Hallo,

ich hab heuer das erste mal Analysis und tu mir noch schwer solche Dinge zu beweisen, wär lieb wenn mir jemand helfen könnte.

Bsp.: Sei A ⊂

R

nicht leer, nach unten und oben beschränkt. Zeigen Sie:

sup(−A) = − inf(A) und inf(−A) = −sup(A)

Vielen Dank im Voraus
LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

michaL aktiv_icon

17:46 Uhr, 20.11.2023

Hallo,

sup (A)

ist die KLEINSTE obere Schranke, d.h. es gilt

a \leq sup (A)

für alle

a \in A

.
Diese Ungleichung gilt außerdem für kein kleineres Element als

sup (A)

.

Entsprechend ist

inf (A)

die GRÖßTE untere Schranke, d.h. es gilt

inf (A) \leq a

für alle

a \in A

.
Diese Ungleichung gilt zudem für kein größeres Element als

inf (A)

.

Nun nehmen wir mal die (zu beweisende) Aussage

sup (- A) = - inf (A)

her.

Sie sagt:

- inf (A)

ist die kleinste obere Schranke der Menge

- A := {- a ∣ a \in A}

.
Gemäß Definition musst du zwei Dinge beweisen:
*

- inf (A)

ist wirklich eine obere Schranke von

- A

.
* Es gibt keine kleinere obere Schranke als diese.

Der erste Teil ist wirklich leicht gemacht:
Sei

a \in A

.
Da

inf (A)

insbesondere eine untere Schranke von

A

ist, gilt also

inf (A) \leq a

.
Dies wird mit

- 1

multipliziert und führt (äquivalent) zu

- a \leq - inf (A)

.
Zack,

- inf (A)

ist also eine obere Schranke für irgend ein beliebiges Element von

- A

, und daher für alle Elemente von

- A

.

Stellen wir uns mal vor, es gäbe eine weitere obere Schranke

S

von

- A

, die KLEINER wäre als

- inf (A)

, d.h. es würde

S < - inf (A)

und

- a \leq S

für alle

a \in A

gelten.
Beide Gleichungen mit

- 1

multipliziert führen zu:

inf (A) < - S

und

- S \leq a

für alle

a \in A

.

Wegen der letzten Ungleichung wäre also

- S

eine untere(!) Schranke von

A

UND
wegen der ersten echt größer als das Infimum, welche ja die GRÖßTE aller unteren Schranken zu sein hat.
Eine größere untere Schranke als die größte?
Erscheint mir irgendwie widersprüchlich. So etwas kann es nicht geben.
Na, dann kann es wohl keine kleinere obere Schranke von

- A

geben als

- inf (A)

- inf (A)

ist demnach die kleinste obere Schranke von

- A

, in Zeichen

- inf (A) = sup (- A)

.

Mfg Michael

PS: Ich will nicht verhehlen, dass man den Beweis auf folgende beiden Ungleichungen zurückführen könnte, wenn man ihn leicht anders zuspitzte:

- inf (A) \leq sup (- A)

und

sup (- A) \leq - inf (A)

.

Aus diesem

a \leq b

und

b \leq a

folgt doch auch, dass

a = b

zu gelten hat.

fersmarc2012 aktiv_icon

17:55 Uhr, 21.11.2023

Danke für die schnelle Rückmeldung und die genaue Erklärung, hat mir sehr geholfen.

LG Marco

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