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Zeigen Sie: F ○ G und F + G sind nilpotent

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Tags: Determinant, Eigenwert, polynom

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20:32 Uhr, 25.05.2017

Seien

F, G

∈EndK(V)nilpotent, und es gelte F○G =G○F. Zeigen Sie: F○G und

F + G

sind nilpotent.

(Hinweis: Verwenden Sie beim Beweis der Nilpotenz von

F + G

den Binomischen Lehrsatz.)

Geben Sie Beispiele von K–Vektorr¨aumen

V

und nilpotenten F,G∈EndK(V)an, bei denen einmal F○G und einmal

F + G

nicht nilpotent ist.

Kann mir jemand bei den Aufgaben helfen, ich weiß ehrlich gesagt nicht wo und wie ich anfangen soll.. und die Bespiele finden soll ..

Ein Lösungsweg und erklärung wäre hilfreich

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

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21:12 Uhr, 25.05.2017

Das ist doch ganz einfach.

Du weißt:

F^{n} = 0

und

G^{m} = 0

.
Wegen

F G = G F

gilt

(F G)^{n + m} = F^{n + m} G^{n + m} = F^{n} F^{m} G^{n} G^{m} = 0 F^{m} G^{n} 0 = 0

, also

F G

nilpotent.

Und für

F + G

halt mit dem binomischen Satz wie im Hinweis:

(F + G)^{k} = \sum_{j = 0}^{k} F^{j} G^{k - j}

.
Wenn jetzt

k = n + m

gewählt wird, ist in der Summe
jeder Summand =0, weil entweder

j \geq n

oder

n + m - j \geq m

(wäre

j < n

und

n + m - j < m

, dann wäre

n + m = j + (n + m - j) < n + m

- Widerspruch). Also ist

(F + G)^{n + m} = 0

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22:44 Uhr, 25.05.2017

Was wären Beispiele von K–Vektorräumen

V

und nilpotenten F,G∈EndK(V)an, bei denen einmal F○G und einmal

F + G

nicht nilpotent ist ?

hat man nicht gezeigt dass wenn

F, G

∈EndK(V)nilpotent sind FoG und

F + G

nilpotent sind ? oder versteh ich da was falsch ..

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22:48 Uhr, 25.05.2017

Wesentlich war, dass

F G = G F

.
Wenn es nicht so ist, dann muss weder

F G

noch

F + G

nilpotent sein.

Und Beispiele musst Du schon selber konstruieren. Mit

3 \times 3

-Matrizen sollte es gehen. Probier ein bisschen um.

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22:56 Uhr, 25.05.2017

In der Aufgabenstellung war es

F \cdot G

gemeint oder FoG ?

Achsoo, dann probier ich mal bisschen herum

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08:26 Uhr, 26.05.2017

Also

f (g (x)) = g (f (x))

oder? Wie mach ich das hier?

F {(g (v))}^{m + n}^2 = F {({g (v)}^{m} + n)}^{m} + n = F {({g (v)}^{m} \cdot {g (v)}^{n})}^{m} \cdot F {({g (v)}^{m} \cdot {g (v)}^{n})}^{n} = 0

Ist das richtig?

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09:01 Uhr, 26.05.2017

Die Frage ist -was machst Du hier?

Ja, wenn man

A

und

B

als Operatoren (Abbildungen auffasst), dann ist richtig

(F \circ G) (v) = F (G (v))

.
Aber für die entsprechende Matrizen bedeutet es normale Multiplikation, die Matrix für

F \circ G

ist einfach das Produkt der Matrizen für

F

und

G

. Daher habe ich überall einfach multipliziert, weil wir ja sowieso Matrizen betrachten können.

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09:07 Uhr, 26.05.2017

Achsoo, okay jetzt macht es Sinn. Dankeschön für deine Hilfe und Erklärung :-)

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