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Zeigen Sie, dass A diagonalisierbar ist.

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Polynome

Tags: Matrix, Minimalpolynom, polynom

Maxi19967890 aktiv_icon

21:36 Uhr, 28.05.2020

Die Matrix A ∈ Mn(R) habe das Minimalpolynom
mA(X)

= X^{2}

−

5 X + 6 = (X

−

2) (X

−

3)

.

Zeigen Sie, dass A diagonalisierbar ist.

Hallo Leute, ich habe hier eine Aufgabe mit der ich nicht klar komme. Ich habe zunächst versucht, durch das Polynom auf die matrix zu schließen, indem ich den Algorithmus für das Minimalpolynom rückwärts angewendet habe. Leider kam ich auf nichts gescheites. Die Eigenwerte der Matrix konnte ich somit auch nicht berechnen.

Über Hilfe wäre ich euch sehr dankbar.

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

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22:12 Uhr, 28.05.2020

"Eine Matrix über

Maxi19967890 aktiv_icon

22:22 Uhr, 28.05.2020

Über?

Mathe-Steve aktiv_icon

22:30 Uhr, 28.05.2020

Das Minimalpolynom hat nur einfache Nullstellen, also sind alle Jordankästchen 1x1-Matrizen.

Maxi19967890 aktiv_icon

22:45 Uhr, 28.05.2020

Also ist die Matrix

(3,0; 0,2)

Mathe-Steve aktiv_icon

22:57 Uhr, 28.05.2020

Nein, aber sie hat nur in der Diagonalen von Null verschiedene Einträge und diese sind nur 2 oder 3.

Maxi19967890 aktiv_icon

23:02 Uhr, 28.05.2020

ich meinte

(\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix})

habe mich vorher verschrieben

DrBoogie aktiv_icon

23:05 Uhr, 28.05.2020

Aus www.spektrum.de/lexikon/mathematik/minimalpolynom-einer-matrix/6399

Eine Matrix über K ist genau dann diagonalisierbar, wenn ihr Minimalpolynom in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt.

Welche Größe deine Matrix ist, wissen wir nicht. Sie muss nicht

2 \times 2

sein

Maxi19967890 aktiv_icon

23:07 Uhr, 28.05.2020

Hinweis: Zeigen Sie: Für jedes

v

∈

R^{n}

ist
A ·

v

−

2 v

∈

E 3 (A)

und A ·

v

−

3 v

∈

E 2 (A)

. Wie hilft das einem weiter?

Den Hinweis hat der Prof mir noch mitgegeben.

DrBoogie aktiv_icon

23:20 Uhr, 28.05.2020

Aha, der Prof will, dass du diesen Satz selbst an dem Beispiel beweist.

Gut, der Hinweis hilft insofern, dass du jetzt weißt, dass

(A - 2) V \subset E_{3}

und

(A - 3) V \subset E_{2}

. Andererseits gilt

v = (A - 2) v - (A - 3) v

, womit

(A - 2) V + (A - 3) V = V

. Da die Eigenräume sind nur im Null schneiden, folgt

(A - 2) V \oplus (A - 3) V = V

und

E_{2} \oplus E_{3} = V

. Das bedeutet Diagonalisierbarkeit.

Maxi19967890 aktiv_icon

23:25 Uhr, 28.05.2020

Super, Danke schon mal.

v = (A

− 2)v−(A −

3) v,

womit

(A

−

2) V + (A

−

3) V = V

kannst du mir diese Umstellung vielleicht erklären? Was bedeutet klein und groß V?

DrBoogie aktiv_icon

23:32 Uhr, 28.05.2020

V

ist der Gesamtraum.

v

ein Vektor daraus.

(A - 2) v - (A - 3) v = A v - 2 v - A v + 3 v = v

, womit jeder beliebiger

v

sich als Summe von 2 Vektoren aus

(A - 2) V

und

(A - 3) V

darstellen lässt.

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