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Zeigen Sie, dass: A=B⇔A∪B=A∩B

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Sonstiges

Tags: Äquivalenz, Mengenlehre

Lui030 aktiv_icon

02:39 Uhr, 26.10.2021

Seien A und B zwei Mengen. Zeigen Sie, dass:

A = B \Leftrightarrow A \cup B = A \cap B

Wie löse ich diese Aufgabe? Mein Ansatz bis jetzt:

A \cup B := {x \in M ∣ x \in A \lor x \in B}

A \cap B := {x \in M ∣ x \in A \land x \in B}

Die Gleichheit von Mengen gilt, wenn

A \subseteq B

und

B \subseteq A

.
Da gilt

A \cup B = A \cap B

und

A = B

, muss

A = B \Leftrightarrow A \cup B = A \cap B

stimmen, wenn

A = A \cup B

bewiesen wurde:

\underline{\underline{x \in A \land (x \in A \Leftrightarrow x \in B) \subseteq x \in A \lor x \in B}}

\underline{\underline{x \in A \lor x \in B \subseteq x \in A \land (x \in A \Leftrightarrow x \in B)}}

Aber irgendwie glaube ich nicht, dass das richtig ist.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Mengenlehre

pwmeyer aktiv_icon

12:16 Uhr, 26.10.2021

Hallo,

um sich die Arbeit etwas zu erleichtern, kann vorab festhalten, dass immer gilt:

A \cap B \subseteq A \cup B;

denn für alle

x \in M

gilt:

x \in A \cap B \Rightarrow x \in A

und

x \in B \Rightarrow x \in A \Rightarrow x \in A

oder

x \in B \Rightarrow x \in A \cup B

.

Wenn jetzt

A = B

gilt, dann folgt für

x \in M :

x \in A \cup B \Rightarrow x \in A

oder

x \in B \Rightarrow

(weil

A = B)

x \in A \Rightarrow

(weil

A = B)

x \in A

und

x \in B \Rightarrow x \in A \cap B

Also

A \cup B \subseteq A \cap B

und daraus wegen der allgemeinen Überlegung

A = B

Die Umkehrung geht analog.

Gruß pwm

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