Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Zeigen Sie, dass C ein Automorphismus von G ist

Zeigen Sie, dass C ein Automorphismus von G ist

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Gruppenhomomorphismus

danie aktiv_icon

01:58 Uhr, 17.11.2010

Sei G eine endliche gruppe und h ein beliebiges Element. Wir betrachten die Abbildung
Ch: G

\to

G
g

\to

h^{- 1}

wobei

h^{- 1}

das Inverse von h ist und e das neutrale Element.

a) Zeigen sie, dass Ch für alle h ein Automorphismus von G ist.

b) Wenn U ein Normalteiler von G ist, dann zeigen Sie, dass auch Ch(U) ein Normalteiler von G ist.

c) Finden Sie eine Bedingung dafür, dass Ch der identische Automorphismus von G ist

Hier meine Lösungsversuche, es würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte und sagen kann, ob man das so machen kann, oder ob da etwas fehlt:

a) Homomorphismus bedeutet:
C(g1*g2)=C(g1)*C(g2)
also zu zeigen ist:
h(g1*g2)

h^{- 1}

=hg1

h^{- 1}

*hg2

h^{- 1}

\Rightarrow

h(g1*g2)

h^{- 1}

=hg1eg2

h^{- 1}

\Rightarrow

h(g1*g2)

h^{- 1}

=hg1g2

h^{- 1}

stimmt, die Abb. ist ein Homomorphismus,
jetzt ist noch zu zeigen, dass es sich auch um einen Isomorphismus handelt, das heißt, dass Ch bijektiv sein muss.
Dafür brauche ich nur zeigen, dass Ch injektiv ist, da wir in einer vorherigen Aufgabe bewiesen haben, dass wenn es sich um eine edliche Menge handelt, die auf sich selbst abgebildet wird, wenn diese Abb. injektiv ist, dass sie dann auch surjektiv sein muss.
also ist zu zeigen, dass aus Ch(g1)=Ch(g2) folgt g1=g2
hg1

h^{- 1}

=hg2

h^{- 1}

\Rightarrow

h^{- 1}

hg1

h^{- 1}

h^{- 1}

hg2

h^{- 1}

\Rightarrow

g1=g2
Somit ist G ein Isomorphismus und auch ein Automorphismus, da G auf sich selbst abgebildet wird.

b) U

\subset

G ist Normalteiler, das heißt:
a*U=U*a

\forall

a aus G
zu zeigen ist, dass daraus folgt:
a*Ch(U)=Ch(U)*a

Ch(U)= U

\to

U
u

\to

h^{- 1}

\in

U und
h

\in

G
da U Normalteiler von G ist, gilt für alle u und h:
hu=uh

\Rightarrow

h^{- 1}

h^{- 1}

u=u

\Rightarrow

Ch(U): U

\to

U
u

\to

u
Somit ist Ch(U) auch ein Normalteiler.

c) Ch ist ein identischer Automorphismus, wenn G kommutativ ist, da dann
wie in b) für alle g

\in

G gilt:
g*h=h*g
und
Ch:G

\to

G
g

\to

g
ist.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

12:47 Uhr, 17.11.2010

a) :

Schreibe beim Homomorphismus-Nachweis

\Leftrightarrow

statt

\Rightarrow,

denn gezeigt werden soll ja genau in der andeen Richtung, als du schreibst.
Oder schreibe einfach folgerungslos als Gleichungskette

C_{h} (g_{1} g_{2}) = h^{- 1} {g_{1} g_{2}) h = h^{- 1} g_{1} e g_{2} h = h^{- 1} g_{1} h h^{- 1} g_{2} h = (h^{- 1} g_{1} h) (h^{- 1} g_{2} h) = C_{h} (g_{a}) C_{h} (g_{2})

Bei der Injektivität ist dein

\Rightarrow

dagegen genau die richtige Richtung.
Übrigens ist ein Homomorphismus

φ : G \to G

bereits injektiv, wenn man

φ (x) = 1 \Rightarrow x = 1

hat

b)

"Da

U

Normalteiler von

G

ist, gilt für alle

u

und

h : h u = u h

" stimmt nicht.
Es gilt lediglich

h u h^{- 1} \in U

.
Übrigens glaube ich die Aufgabenstellung nicht:
"

U < G

Normalteiler

\Rightarrow φ (U) < G

Normalteiler" gilt bereits für jeden beliebigen Automorphismus

φ,

nicht nur für diesen speziellen.
Vielmehr gilt hier:

U < G

Normalteiler

\Rightarrow C_{h} (U) = U

.
Sogar:

U < G

Normalteiler

\Leftrightarrow \forall h \in G : C_{h} (U) = U

c) G

abelsch ist eine hinreichende Bdeingung für

C_{h} = i d_{G}

.
(Es gilt sogar:

G

abelsch

\Leftrightarrow \forall h \in G : C_{h} = i d_{G})

.
Für ein einzelnes

h

kann es aber schon bei nicht-abelschen Gruppen klappen. Es genügt, dass

h

im Zentrum von

G

liegt (sofern ihr das schno definiert habt).

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

820856

820810

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?