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Zeigen Sie, dass f, g, h bijektiv sind falls...

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Sonstiges

Tags: Abbildungen (Funktionen), bijektiv, Grundlagen, Mengenlehre, Sonstig

 
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lprkur

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12:55 Uhr, 14.10.2018

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Es seien W,X,Y,Z Mengen. Weiter seien f:W→X, g:X→Y und h:Y →Z
Abbildungen. Zeigen Sie, dass f,g,h bijektiv sind, falls g ◦ f und h ◦ g bijektiv sind.

Ich muss für die Uni folgendes beweisen, ich weiss nur nicht wie...
Eine Idee die ich hatte, ist ein Beweis mit den Kardinalitäten von W,X,Y und Z.
Könnte mir echt jemand bitte dabei helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

17:18 Uhr, 14.10.2018

Antworten
Hallo
du musst nur mit den Def. von bijektiv arbeiten , was heisst es f ist bijektiv , was g ist bijektiv, was g(f) von W→Y ist bijektiv.
mit Kardinalität hat das nix zu tun. du kannst für deine vorstellung für X,Y,Z erstmal alle R oder Teile von R dir vorstellen.
Gruß ledum
lprkur

lprkur aktiv_icon

18:35 Uhr, 14.10.2018

Antworten
Das habe ich versucht, nur ist mir das nicht gelungen. Da ich ja folgende Richtung beweisen muss.
g ◦ f und h ◦ g bijektiv ⇒g,f,h bijektiv
Ich weiss ja, dass:
f ist genau dann injektiv, wenn es ein h:Y → X so gibt, dass h ◦ f= idX .
f ist genau dann surjektiv, wenn es ein h:Y →X so gibt, dass f◦h=idY.
Sind f und g injektiv so ist g ◦ f injektiv.
Sind f und g surjektiv so ist g ◦ f surjektiv.

Hilft mir das?
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

07:56 Uhr, 15.10.2018

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Hallo,

sicher habt ihr diese "Umkehrfunktionseigenschaft" für in-/sur-/bijektiv aus den jeweiligen Definitionen abgeleitet. Will sagen: Bestimmt habt ihr für die Injektivität einer Abbildung f:X→Y die Definition verwendet: Falls für alle x,y∈X aus f(x)=f(y) schon x=y folgt, so heißt f injektiv.
Damit könnte man auch arbeiten.
Außerdem musst du nicht direkt vorgehen. Du sollst ja folgendes zeigen:
Wenn für f:W→X, g:X→Y, h:Y→Z die Kompositionen g∘f und h∘g bijektiv sind, dann sind f, g und h bijektiv.

Trotzdem die indirekte Vorgehensweise eine Menge Fallunterscheidungen nötig macht, ist sie vielleicht für dich einfacher (vor allem zu strukturieren)?!

Mfg Michael
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