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Zeigen Sie dim ker(g°f) <= dim ker(f)+dim ker(g)

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Lineare Abbildungen

Vektorräume

Tags: Dimensionsformel, Lineare Abbildungen, Vektorraum, Verkettung

 
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Jane09

Jane09 aktiv_icon

18:14 Uhr, 14.11.2010

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Also folgendes Problem:
Ich soll zeigen dass für f:U→V und g:V→W wobei U,V,W endlichdimensionale K-Vektorräume sind folgendes gilt:
dim ker(g°f)<= dim ker (f) +dim ker (g)

Ich weiß, dass einige Gleichungen gelten, finde aber keine Art und Weise wie ich die sinnvoll zur gesuchten verknüpfen kann.
Es ist klar, dass folgendes alles gilt:
dimU=dim Im(f) +dim ker(f)
dimU=dim Im(g°f) +dim ker(g°f)
dimV=dim Im(g) +dim ker(g)
dimU≥dim ker(f)
dimU≥dim ker(g°f)
dimV≥dim ker(g)
dim Im(g°f) +dim ker(g°f) =dim Im(f) +dim ker(f)
dim Im(g°f) +dim ker(g°f) ≤dim Im(f) +dim ker(f) +dim Im(g) +dim ker(g)

Mit der letzten Gleichung bin ich ja meinem Ziel schon recht nahe, aber eben noch nicht am Ziel. Welcher Überlegungschritt fehlt mir hier noch?
Oder ist die ganze Herangehensweise falsch?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

22:45 Uhr, 14.11.2010

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Hallo,

ich weiß nicht, ob diese Vorgehensweise zum Ziel führt. Ich würde mir überlegen, wann ein Element x per g∘f auf 0 abgebildet wird.
Das passiert entweder dadurch, dass schon f(x)=0 ist oder eben erst g(y)=0 (Dabei muss y nicht mal im Bild von f liegen).

Wie groß kann die Dimension also höchstens sein: dim(kerf)+dim(kerg) sein.

Vernünftig formalisieren kann man das, indem man geeignete Basen findet. Versuch dich da mal dran!

Mfg Michael
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