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Zeigen Sie durch Differenzieren

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

Sikon aktiv_icon

10:08 Uhr, 29.05.2013

Hallo,

Ich habe folgende Aufgabe die mir zu Schaffen macht.

Zeigen Sie durch Differenzieren!

$\int e^{a x} \cos b x d x = \frac{1}{a^{2} + b^{2}} (a \cos b x + b \sin b x) e^{a x} + C, a, b \in R, a^{2} + b^{2} > 0$

Wie gehe ich an eine solche Aufgabe heran in der man etwas Zeigen muss?

Kann mir jemand von euch einen Anfang geben und Tipps zur lösung des Problems?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)

Bummerang

10:15 Uhr, 29.05.2013

Hallo,

"Wie gehe ich an eine solche Aufgabe heran in der man etwas Zeigen muss?"

Das kann man nicht allgemeingültig sagen, aber wenn wie bei Dir die Aufgabe "Zeigen Sie durch Differenzieren!" lautet, dann ist es klar: Man MUSS differenzieren. Du sollst die Gleichheit zweier Terme zeigen, dann müssen natürlich ihre Ableitungen auch gleich sein. Du sollst also nichts anderes machen, als das was da schon steht: Beide Seiten der Gleichung differenziern!

Atlantik aktiv_icon

10:22 Uhr, 29.05.2013

Nicht beide Seiten, sondern nur die rechte Seite.

mfG

Atlantik

Bummerang

10:32 Uhr, 29.05.2013

Hallo Atlantik,

sehr wohl beide Seiten! Man muss für Umformungen einer Gleichung IMMER auf beiden Seiten die selbe Operation durchführen! Das ist mathematische Grundlage und wird beim Umformen von Gleichungen praktisch in der ersten Schulstunde zu diesem Thema gelehrt! Daran ändert sich auch nichts, wenn die Umformung einem formalen Akt gleicht, bei dem einfach nur ein paar mathematische Zeichen weggelassen werden!

Atlantik aktiv_icon

10:40 Uhr, 29.05.2013

\int x^{3} d x = \frac{x^{4}}{4} + C

Also hier muss ich doch nur

\frac{x^{4}}{4} + C

differenzieren , um

x^{3}

zu erhalten.

[\frac{x^{4}}{4} + C

]

= x^{3}

mfG

Atlantik

Bummerang

10:45 Uhr, 29.05.2013

Hallo,

Richtig, um

x^{3}

zu erhalten musst Du nur die rechte Seite differenzieren. Aber Du sollst ja nicht zeigen, dass die Ableitung der rechten Seite

x^{3}

ist! Du sollst zeigen, dass die Gleichung gilt. Da musst Du mindestens noch zeigen, dass die Ableitung der linken Seite auch

x^{3}

ist, und das machst Du durch Ableitung der linken Seite!

Wenn Du meinen Post wirklich gelesen hättest, hättest Du spätestens bei dem Teil: "Daran ändert sich auch nichts, wenn die Umformung einem formalen Akt gleicht, bei dem einfach nur ein paar mathematische Zeichen weggelassen werden!" stutzig werden müssen!

Es bleibt dabei: Beweis der Gültigkeit einer Gleichung über GLEICHE UMFORMUNGEN der Gleichung und IMMER AUF BEIDEN SEITEN!

Atlantik aktiv_icon

11:16 Uhr, 29.05.2013

Also so muss es dann formal richtig sein:

[\int x^{3} \cdot d x]

= [\frac{x^{4}}{4} + C]

´

mfG

Atlantik

Bummerang

12:29 Uhr, 29.05.2013

Hallo,

genau! Und weil die Differentiation die Umkehroperation zur Integration ist, ergibt sich links einfach der Integrant. Umgekehrt allerdings, also wenn erst differenziert würde und die Gleichheit mit der Integration gezeigt werden sollte, ist es etwas anders, da die Integration keine "echte" Umkehroperation ist. Das Ergebnis ist ja nicht die zuvor differenzierte Funktion, sondern die differenzierte Funktion plus einer Konstanten.

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