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Zeigen Sie, für n ∈ N, n ≥ 3, gilt: 2n + 1 ≤ 2^n

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Tags: Vollständig Induktion

ylerto aktiv_icon

11:57 Uhr, 02.05.2015

Hallo, ich habe ein Problem mit der Induktion und hoffe ihr könnt mir auf die Sprünge helfen.
Ich habe mir etliche Beispiel zur Induktion angesehen jedoch versteh ich den Induktionsschritt nicht ganz.

Aufgabe: Zeigen Sie, dass für

n

∈

N, n

≥

3,

gilt:

2 n + 1

≤

2^{n}

.

Induktionsanfang:

n = 3

2 \cdot 3 + 1

≤

2^{3}

7 ≤ 8 somit gilt die Aussage für

n = 3

Induktionsschritt: Wenn

n

gilt, dann gilt auch

n + 1

2 (n + 1) + 1

≤

2^{n + 1} |

Hier liegt mein Problem. Wie zeige ich hier formal, dass die Aussage für

n + 1

gilt?

2 (n + 1) + 1 \Leftrightarrow 2 n + 3

2^{n + 1} \Leftrightarrow 2 \cdot 2^{n}

Somit

2 n + 3

≤

2 \cdot 2^{n} |

Ist doch soweit richtig, oder? Ich weiß nicht wie ich ab hier weitermachen soll.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

tommy40629 aktiv_icon

12:43 Uhr, 02.05.2015

"Ganz einfach" hier musst Du nun abschätzen.

Erst mal kann man noch umformen:

2 n + 3 \leq 2^{1} * 2^{n}

2 n + 3 \leq 2^{n + 1}

Nun mußt Du abschätzen, dieses Abschätz-Mysterium habe ich aber auch noch nicht verstanden. Bücher gibt es darüber nicht.

Vielleicht kann Dir jemand anderes erklären, warum man noch welche Schritte durchführen kann.

ylerto aktiv_icon

13:01 Uhr, 02.05.2015

D . h

ich kann es bei Ungleichungen nicht formal beweisen sondern muss es durch die Umformungen abschätzen? Danke dir soweit!

Respon

13:07 Uhr, 02.05.2015

Etwas einfacher geht es, wenn man die zu beweisende Aussage so schreibt:

2^{n} \geq 2 \cdot n + 1

Sei die Aussage für

n

schon bewiesen.

2^{n + 1} = 2^{n} \cdot 2 \geq (2 \cdot n + 1) \cdot 2 \geq 4 \cdot n + 2 \geq 2 \cdot n + 3 = 2 (n + 1) + 1

q . e . d

ylerto aktiv_icon

13:25 Uhr, 02.05.2015

2n+1=2n⋅2 ≥ (2⋅n+1)⋅2 | Wie kommst du hier auf die

\cdot 2

?

(2⋅n+1)⋅2 ≥ 4⋅n+2≥2⋅n+3=2(n+1)+1 | Dieser Schritt ist mir auch nicht klar.

Wäre nett, wenn du das mal kleinschrittig ausformulierst. Ansonsten danke ich dir auch soweit für deine Hilfe!

Respon

13:31 Uhr, 02.05.2015

2^{n + 1} = 2^{n} \cdot 2^{1} = 2^{n} \cdot 2 (

Potenzregeln )

Respon

13:33 Uhr, 02.05.2015

Und welchen Schritt meinst du in der zweiten Zeile ? ( es sind ja

3)

ylerto aktiv_icon

13:52 Uhr, 02.05.2015

Tut mir leid der Schritt ist selbstverständlich hatte einen Denkfehler.
Vielen Dank und man kann es nicht noch genauer machen, oder? Geht ja nicht, weil es eine Ungleichung ist würde ich jetzt mal behaupten.

Respon

13:59 Uhr, 02.05.2015

Man müsste natürlich

(z . B

. bei einer Prüfung ) jeden Schritt erklären bzw. begründen.
Ich sehe aber nichts, was man wirklich noch zusätzlich beweisen müsste.
Eventuell folgenden Schritt

4 \cdot n + 2 \geq 2 \cdot n + 3

Das könnte man so machen ( Achtung: Äquivalenzumformungen )

4 \cdot n + 2 \geq 2 \cdot n + 3 | - 2 \cdot n

2 \cdot n + 2 \geq 3 | - 2

2 \cdot n \geq 1 | : 2

n \geq \frac{1}{2}

wahre Aussage für alle

n

Da wir äquivalent umgeformt haben, könne wir die Beweiskette von "unten" nach "oben" zurückverfolgen.

ylerto aktiv_icon

22:57 Uhr, 02.05.2015

Ich bedanke mich recht herzlichst bei euch beiden.

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