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Zeigen das Menge Basis ist
Universität / Fachhochschule
angewandte lineare Algebra
Tags: Angewandte Lineare Algebra, basis
 
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Hallo, wir schreiben diese Woche ne Klausur und solln folgende Aufgabe lösen können:
Zeigen Sie, dass im eine Basis ist.
Mir hatte jemand erzählt er genüge zu beweisen, dass die Vektoren linear unabhängig sind weiß aber nicht, ob das was dran ist
Es wäre nett wenn mir jemand zeigen könnte wie man das beweist
Danke schon mal Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Ja, da ist was dran. ;-) |
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achso gut dann muss ich also nur ein LGS aufstellen und zeigen das sie linear abhängig sind und dann ist das also schon der Beweis dafür, dass die Menge eine Basis ist oder ?
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Hallo, ich hoffe du weißt, dass es im Allgemeinen nicht reicht zu zeigen, dass die Vektoren der gegebenen Menge linear unabhängig sind um zu beweisen, dass sie eine Basis bilden. Das stimmt in diesem Fall nur, da du weißt, dass die Dimension des Vektorraumes 3 ist und somit eine Familie mit 3 linear unabhängigen Vektoren eine Basis bilden. Sollte es sich hier um eine Klausur- oder Hausaufgabe handeln, dann garantiere ich dir, dass es Punktabzug gibt, wenn du das nicht erwähnst! Für eine Basis muss immer gezeigt werden, dass die Vektoren linear unabhängig sind UND ein Erzeugendensystem bilden! Gruß Sina |
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könntest du mir ein Beispiel geben wo diese beiden Kriterien bewiesen werden? |
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Nun ja, für die Lineare Unabhängigkeit stellst du die Linearkombination auf, das führt zu einem LGS (erweiterte Koeffizientenmatrix, Gaußalgorithmus etc.) Dann zeigst du, dass die Vektoren ein Erzeugendensystem bilden, dafür nimmst du einen beliebigen Vektor des und musst eine Linearkombination der 3 Vektoren finden. Also stellst du die Linearkombination , mit auf. Auch dieses führt wieder auf ein LGS das gelöst werden muss und es muss für alle mindestens eine Lösung besitzen. Sei mir nicht bös, aber vorrechnen will ich das eigentlich nicht... |
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achso das heißt ich muss die vektoren einfach gleich a,b,c setzten und dann nach a b c auflösen und das wäre dann der beweis oda wie ? aber wie mach ich das dann , dann hab ich doch jetzt in einer reihe 4 variablen oda ??
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Nein, der Vektor bildet die rechte Seite deiner erweiterten Koeffizientenmatrix. sind beliebig aber fest. Du bist an den interessiert. Die erweiterte Koeff.-matrix sieht dann so aus: |
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Hmm, wie kann es denn sein, dass . vier linear unabhängige Vektoren aus keine Basis von bilden? *kopfkratz* |
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wie und nach was löse ich dann auf ? oder muss man garnichts auflösen? |
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ich versteh die Frage grad nich |
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@photon Nein, das ist prinzipiell schon richtig. Wenn die Dimension eines Vektorraumes bekannt ist und man genau so viele linear unabhängige Vektoren hat, hat man automatisch auch eine Basis. Aber mit der Aussage, es genügt die Lineare Unabhängigkeit zu zeigen, wäre ich vorsichtig, da das für eine Basis eben normalerweise nicht genügt. 3 linear unabhängige Vektoren sind keine Basis des . Ich wollte das hier noch vermerken, da ich (wie bereits oben erwähnt) mir sicher bin, dass es Punktabzug geben würde, wenn man nur die lineare Unabhängigkeit betrachtet und kein Wort zum Erzeugendensystem verliert. Ansonsten ist deine Antwort natürlich richtig :-) @dreamerkid Bevor ich jetzt anfange zu rechnen, ist dir eine erweiterte Koeffizientenmatrix bekannt und weißt du, wie man sie aufstellt? |
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Achsoo, gut, wenn die Anzahl der Vektoren nicht mit der Dimensionalität des Raums übereinstimmt, funktioniert es wirklich nicht. :-) |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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