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Zeigen das Spalten Eigenvektoren sind

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: Eigenwert, Matrix

Christian86 aktiv_icon

12:49 Uhr, 13.05.2022

Hallo. Könnte mir jemand erklären wie die Matrix

X

aufgebaut ist?
Ich verstehe nicht wie die Komponenten aussehen. Eventuell als Bsp an einer

3 x 3

Matrix. Danke.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

ledum aktiv_icon

16:11 Uhr, 13.05.2022

Was ist tridiag(...)
und warum schreibst du es nich einfach mal für

n = 3

oder 4 auf?
lul

Christian86 aktiv_icon

16:44 Uhr, 13.05.2022

Danke erstmal für die Antwort.
Wie die tridiag aussieht ist mir klar.
2 -1 0 0
-1 2 -1 0
0 -1 2 -1
unsw.
Aber was ist mit dem Klammerausdruck von X= (?) gemeint?

ledum aktiv_icon

11:57 Uhr, 14.05.2022

Meine Frage war, was tridiag bedeutet?
für

Π k

musst du einfach die Werte

i, k

einsetzen um die Elemente der Matrix zu bestimmen
ledum

Christian86 aktiv_icon

13:16 Uhr, 14.05.2022

Ich komme leider immer noch nicht dahinter wie

X

aussieht.

sin (π \cdot h) sin (π \cdot 2 \cdot h) sin (π \cdot 3 \cdot h) . .

sin (π \cdot 2 \cdot h) sin (π \cdot 4 \cdot h) sin (π \cdot 6 \cdot h) . .

sin (π \cdot 3 \cdot h) sin (π \cdot 6 \cdot h) sin (π \cdot 9 \cdot h) . .

.

Setzen sich die Komponenten der Matrix so fort?
Und was setze ich dann für

h

ein?

VG

Kartoffelchipsman aktiv_icon

21:04 Uhr, 14.05.2022

Für die

j -

te Zeile von A mal der

k -

ten Spalte von

X

ergibt sich

\frac{1}{{(n + 1)}^{2}} \cdot (- sin (\frac{k \cdot π \cdot (j - 1)}{n + 1}) + 2 \cdot sin (\frac{k \cdot π \cdot j}{n + 1}) - sin (\frac{k \cdot π \cdot (j + 1)}{n + 1}))

= \frac{2 \cdot (1 - cos (\frac{k \cdot π}{n + 1}))}{{(n + 1)}^{2}} \cdot sin (\frac{k \cdot π \cdot j}{n + 1})

(man mache sich klar, dass das auch für

j = 1

und

j = n

gilt) .

Die

k -

te Spalte von

X

ist also Eigenvektor von A

zum Eigenwert

\frac{2 \cdot (1 - cos (\frac{k \cdot π}{n + 1}))}{{(n + 1)}^{2}}

.

(Benutzt:

sin (\frac{k \cdot π \cdot j}{n + 1} - \frac{k \cdot π}{n + 1}) = sin (\frac{k \cdot π \cdot j}{n + 1}) \cdot cos (\frac{k \cdot π}{n + 1}) - sin (\frac{k \cdot π}{n + 1}) \cdot cos (\frac{k \cdot π \cdot j}{n + 1}),

sin (\frac{k \cdot π \cdot j}{n + 1} + \frac{k \cdot π}{n + 1}) = sin (\frac{k \cdot π \cdot j}{n + 1}) \cdot cos (\frac{k \cdot π}{n + 1}) + sin (\frac{k \cdot π}{n + 1}) \cdot cos (\frac{k \cdot π \cdot j}{n + 1}) .)

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