 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Zeigen, dass Bildmenge nach oben beschränkt ist
Zeigen, dass Bildmenge nach oben beschränkt ist
Universität / Fachhochschule
Funktionen
Tags: Abbildung, Beschränkt, bildmenge, Funktion, monoton wachsend, Supremum, Teilmenge
 
|
  |
|---|
|
Hallo! Beim Durchrechnen von ein paar Matheaufgaben bin ich hier hängen geblieben: Eine Abbildung heißt monoton wachsend, falls für alle mit gilt: . Soweit ist mir da auch noch alles klar. Dann kommt Aufgabenteil a: (a) Zeigen Sie folgende Aussage: Ist eine monoton wachsende Abbildung, so ist für jede nicht leere nach oben beschränkte Teilmenge auch die Bildmenge nach oben beschränkt und es gilt: Ich habe echt keinen Ansatz für diesen Beweis, weil ich sowas (Bildmenge, nach oben beschränkt etc) noch nie gemacht habe.. Könnte mir da jemand evtl. einen Ansatz nennen? Wäre super! LG Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
|
 |
|
Hallo, du willst mir verkaufen, dass ihr weder über Abbildungen noch über Schranken gesprochen habt? Oder nur nicht in Kombination? Wenn letzteres, dann kombiniere das doch einfach! Du sollst ja zweierlei zeigen: Die Menge aller Bilder () ist nach oben beschränkt und es gilt: Wenn du die letzte Gleichung zeigen kannst, dann hättest du ja schon eine obere Schranke für . Willst du nicht lieber selbst nochmal überlegen, wie's geht? Die Aufgabe ist nämlich sehr einfach. Mfg Michael |
 |
|
sup und Schranken und das ganze hab ich in der Schule noch nie gesehen, das kam jetzt plötzlich im Studium. An sich ist das auch alles logisch, nur habe ich keinen Schimmer wie ich die Gleichung zeigen soll (liegt u.a. auch daran, dass ich im Grundkurs _nie_ Beweise gemacht habe). Was mich verwirrt ist, dass das f (was für mich vorher immer für "Funktion" stand) plötzlich eine Abbildung ist von Mengen auf Mengen mit Schranken usw. Bzw das eine Abbildung scheinbar synonym für Funktion steht.. Ich glaube ich habe einfach die Grundlagen noch nicht verstanden. Ich habe auch schon vermutet, dass das eigentlich recht einfach ist, nur wie zeig ich, dass das Supremum des Funktionswerts kleiner (oder gleich) ist als der Funktionswert des Supremums? Mit konkreten Zahlen? Entweder bin ich tatsächlich zu blöd dafür oder hab einfach nur ein Brett vor dem Kopf.. Oder das ganze Prinzip noch nicht verstanden. Deswegen wäre es echt nett, wenn Du mir einen Ansatz geben könntest... |
|
|
|
Hallo, > Was mich verwirrt ist, dass das (was für mich vorher immer für "Funktion" stand) plötzlich eine Abbildung ist von Mengen > auf Mengen mit Schranken usw. Bzw das eine Abbildung scheinbar synonym für Funktion steht. Tut es eigentlich nicht. Es ist folgendermaßen: Die Abbildung ist von nach . Aber für jede Teilmenge kann ich alle Elemente hernehmen und deren Bilder wieder in eine Menge "stopfen": Für diese Menge schreibt man kurz: (manchmal und - wie ich finde - auch besser: ) Logik dahinter sollte gerade (angehenden) Programmierern klar sein. Die Abbildung wird halt auf den Inhalt von "angewendet". > Deswegen wäre es echt nett, wenn Du mir einen Ansatz geben könntest... Verstehe ich schon. Allerdings sollst du ja den (grundlegenden) Umgang mit (echter) Mathematik lernen. Da musst du selbst 'ran. Wir machen mal mit Fragen: Welche Eigenschaft hat denn für eine beliebige (nicht leere und nach oben beschränkte) Teilmenge von das Element ? Was bedeutet es dagegen(?), wenn "nur" eine obere Schranke von ist? Mfg Michael |
|
|
|
Hallo! Vielen Dank für die super Erklärung mit dem "Bilder wieder in Menge stopfen", und ja, die Logik dahinter ist mir klar. Was mir aber jetzt noch klarer ist: f(M) ist einfach die Bildmenge, und nicht irgendein Funktionswert oder so (wie ich dachte). Und jetzt wo ich gerade nochmal die Aufgabe durchgelesen habe fällt mir auf, dass es dort auch steht.. Hab ich wohl nicht aufmerksam genug gelesen.... Nochmal zu "dass eine Abbildung synonym für Funktion steht": Unser Prof hat dazu in einer Definition aufgeschrieben: "Statt Abbildung sagt man auch Funktion.", deswegen war ich etwas verwirrt. Aber jetzt weiß ich, dass man das auseinander halten muss. Vielen Dank! Zu den Fragen: ist ja die _kleinste_ obere Schranke, und sie liegt auf jeden Fall in , aber ich bin mir gerade nicht sicher ob sie auch in A liegt? Wenn x nur eine obere Schranke von A ist, ist sie auf jeden Fall größer (oder gleich?) als , liegt aber auch in . Das wären die Eigenschaften, die mir dazu einfallen.. Und mit dem "neuen" Wissen würde ich jetzt die Ungleichung so lesen: Das Supremum der Bildmenge ist kleiner als die Abbildung des Supremums.. Komme allerdings trotzdem noch nicht weiter bei der Aufgabe. Jetzt hänge ich beim rechten Ausdruck der Ungleichung: f(sup(A)) Das bedeutet doch jetzt "Bildmenge des Supremums" oder so ähnlich? LG |
|
|
|
Hallo, ok, nicht ganz korrekt, also falsch: Eine obere Schranke ist NICHT UNBEDINGT die kleinste obere Schranke. Es gilt also auf jeden Fall für jede obere Schranke von . Das ist wichtig, das werden wir brauchen. Was bedeutet es denn, eine obere Schranke zu sein? Zu deiner konkreten Frage: > Jetzt hänge ich beim rechten Ausdruck der Ungleichung: f(sup(A)) > Das bedeutet doch jetzt "Bildmenge des Supremums" oder so ähnlich? Nein. ist eine reelle Zahl, also das Bild dieser reellen Zahl, also wieder eine reelle Zahl. Mfg Michael |
|
|
|
Hallo! Dann habe ich das doch richtig beantwortet vorhin, bezüglich "irgend"einer oberen Schranke und dem Supremum, oder? Ich hatte geschrieben sup(A) ist die kleinste obere Schranke. Und wenn man stattdessen nur "eine" Schranke von A betrachtet, ist diese in jedem Fall größer als das Supremum. Demnach liegt "eine" obere Schranke nicht in der Menge und es gibt noch viele weitere kleinere obere Schranken. Außer bei sup(A), das ist die kleinste. Das würde ja dann bedeuten, dass f(sup(A)) das größte Element von f(A) ist, und mit der Gleichung aus Aufgabenteil a gefordert wird, dass diese Zahl größer (oder gleich) ist als das Supremum der Bildmenge. Allerdings bringt mich das nicht weiter.. Habe jetzt mal alles aufgeschrieben, was ich weiß: für mit a \leq b soll gelten. Vielleicht fällt mir morgen mehr ein zu der Aufgabe... Vielen Dank schonmal bis hier her! LG |
|
|
|
Hallo, nein, hast du nicht. Irgend eine obere Schranke könnte ja auch die kleinste sein. Weißt du es? Insofern ist sie nicht unbedingt größer, aber größer oder gleich. Aber das hatte ich doch im letzten posting beschrieben! Ich zitier mich mal, da hast du auch nicht drauf geantwortet: > Was bedeutet es denn, eine obere Schranke zu sein? Mfg Michael |
|
|
|
Hallo! Das irgendeine Schranke gleich dem Supremum sein könnte, meinte ich natürlich auch. Habs allerdings im letzten Post falsch wiederholt, im Post davor hatte ich in Klammern noch "oder gleich" dazugeschrieben, aber ist jetzt auch egal, habs ja verstanden :-D) Naja, eine obere Schranke zu sein bedeutet, dass diese Zahl die Menge nach oben beschränkt und alle Zahlen darüber auch Schranken sind. Alle Zahlen darunter bis zum Supremum ebenfalls, und unter dem Supremum beginnt dann die Menge. Oder auf was genau willst du mit der Frage hinaus? Was es sonst noch bedeuten könnte, weiß ich leider nicht :/ //EDIT: Was mir bei der Ungleichung oben () Probleme macht, ist dass die rechte Seite ja die Abbildung des Supremums ist. Aber wie kann ich zeigen, dass diese Abbildung größer ist als das Supremum der Bildmenge, ohne irgendeine Abbildungsvorschrift zu kennen? Das einzige was ich weiß ist ja, dass gilt. Oder reicht das schon und das sagt mir, dass die Zahl (aus ) auch als Abbildung wieder dieselbe Zahl (aus ) ist? Dann wäre ja aber ... LG |
|
|
|
Hallo, liegt alles schon auf dem Tisch. Schlüssel ist die (wiederholte) Frage, welches Axiom erfüllt sein muss, damit man also obere Schranke der Menge ansehen kann. Bitte so mathematisch wie möglich! Mfg Michael |
|
|
|
Hallo! Das Axiom kann ja eigentlich nur das Vollständigkeitsaxiom sein. Also mein Ansatz wäre jetzt folgender: Für die Ungleichung : Nach dem Vollständigkeitsaxiom gibt es für jede nicht leere und nach oben beschränkte Menge ein Supremum, also besitzt und somit auch ein Supremum. Da für jede obere Schranke s einer Menge M gilt, dass , so muss hier folgendes gelten: Demnach ist eine obere Schranke von f(A). Per Definition heißt jede reelle Funktion f nach oben beschränkt, wenn die Bildmenge f(A) nach oben beschränkt ist (dies ist hier der Fall). Allerdings bin ich mir nicht sicher, ob ich einfach sagen kann, dass f(sup(A)) = s ist, das folgere ich ja nur aus der Ungleichung oben. Ist denn die Richtung dieses Beweises wenigstens im Ansatz richtig? LG |
|
|
|
Hallo, entschuldige bitte, dass ich mich ein paar Tage nicht gemeldet hatte. Die Antwort auf meine Frage ist: ist obere Schranke von genau dann, wenn für alle gilt. Insbesondere gilt dann , wenn das Supremum (überhaupt) existiert. Diese beiden Zusammenhänge geben dir alles nötige für den Beweis in die Hand! Zeige einfach, dass eine obere Schranke von ist. Dann gilt ja "automatisch" . Wie prüft man das? Nun, zeige einfach, dass eine obere Schranke ist (daher meine vehemente Nachfrage, die dreimal unbeantwortet war). Mfg Michael |
|
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
|
1125768
1124502