Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Zeigen, dass Euklidische Norm eine Norm definiert

Zeigen, dass Euklidische Norm eine Norm definiert

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Differentiation

Funktionen

Tags: Cauchy Schwarz Ungleichung, euklidischer Raum, Funktion, metrischer Raum, Norm, normierter raum, R^n, Sonstig

Thisnu aktiv_icon

22:33 Uhr, 26.10.2018

Guten Abend, liebe Community

Ich habe eine Frage bezüglich folgender Aufgabe:

Aufgabe
_______

Zeigen Sie, dass auf dem

ℝ^{n}

die Euklidische Norm

∣ ∣ x ∣ ∣_{2} = (\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2})^{\frac{1}{2}}

eine Norm definiert. Verwenden Sie dabei ohne Beweis die Cauchy-Schwarz-Ungleichung

∣ < x, y > ∣ \leq ∣ ∣ x ∣ ∣_{2} \cdot ∣ ∣ x ∣ ∣_{2}

für das Skalarprodukt

∣ < x, y > ∣ \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i}

Mein Ansatz war so:
____________________

Für eine Norm muss ich folgende Axiome überprüfen:

(a)

∣ ∣ x ∣ ∣ \geq 0

und

∣ ∣ x ∣ ∣ = 0

\Leftrightarrow

x = 0

(b)

∣ ∣ λ x ∣ ∣ = ∣ λ ∣ \cdot ∣ ∣ x ∣ ∣

(c)

∣ ∣ x + y ∣ ∣ \leq ∣ x ∣ + ∣ ∣ y ∣ ∣

zu a)
______

Der Fall ist klar.

Es gilt immer

∣ ∣ x ∣ ∣_{2} = (\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2})^{\frac{1}{2}} \geq 0

, da die Komponenten des Vektors unter der Wurzel ins Quadrat genommen werden. Dann ist die Summe unter der Wurzel natürlich auch größer gleich 0.

Und es gilt zudem

∣ ∣ x ∣ ∣_{2} = (\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2})^{\frac{1}{2}} = 0

\Leftrightarrow

x_{i} = 0

. Das ist auch völlig klar. Denn wenn irgendeine Komponente des Vektors unter der Wurzel ungleich Null ist, dann ist die Wurzel des Summe auch größer gleich Null. Deswegen muss jede Komponente

x_{i} = 0

sein.

zu b)
______

∣ ∣ λ x ∣ ∣_{2} = (\sum_{i = 1}^{n} (λ x_{i})^{2})^{\frac{1}{2}}

Aber ab hier komme ich nicht weiter... Ich weiß nicht genau, wie ich das

λ

herausziehen kann.

Zu dem weiß ich auch nicht, wie ich die Cauchy-Schwarz-Ungleichung verweden kann, um zu beweisen, dass die euklidische Norm eine Norm definiert... Wie kann man sie anwenden?

Ich bin für jede Hilfe dankbar.

Euer Tim

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1443746

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?