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Zeigen, dass Folge konvergiert

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

Sophia77 aktiv_icon

20:24 Uhr, 08.01.2025

Hallo, ich merke langsam, dass ich bei einigen Aufgaben an meine "Grenzen komme" und sie glaube ich nicht richtig löse oder zu komplex.

Daher wäre ich für eure Hilfe und Unterstützung wie immer sehr dankbar :-) Hier die Aufgabe und mein (sehr lang geratener) Lösungsvorschlag:

Gegeben ist eine Folge

(a_{n})_{n \in ℕ}

nichtnegativer reeller Zahlen mit

lim_{n \to \infty} a_{n}^{2} = 2

.
Wir wollen zeigen, dass auch die Folge

(a_{n})_{n \in ℕ}

konvergiert und dass der Grenzwert

lim_{n \to \infty} a_{n} = \sqrt{2}

gilt.

Aus der Aufgabenstellung wissen wir, dass

lim_{n \to \infty} a_{n}^{2} = 2

.
Das bedeutet gemäß der Definition des Grenzwerts, dass für jedes

ε > 0

ein

N \in ℕ

existiert, sodass für alle

n \geq N

gilt:

∣ a_{n}^{2} - 2 ∣ < ε

.
Die Folge

(a_{n}^{2})_{n \in ℕ}

konvergiert also gegen 2. Da

a_{n} \geq 0

für alle

n

, folgt, dass die Quadratwurzel von

a_{n}^{2}

existiert.

Um zu zeigen, dass

(a_{n})_{n \in ℕ}

gegen

\sqrt{2}

konvergiert, verwenden wir die Definition der Konvergenz. Sei

ε > 0

gegeben. Wir müssen zeigen, dass es ein

N \in ℕ

gibt, sodass für alle

n \geq N

gilt:

∣ a_{n} - \sqrt{2} ∣ < ε

.

Die Folge

a_{n}

ist nichtnegativ (

a_{n} \geq 0

), daher gilt:

a_{n} = \sqrt{a_{n}^{2}}

.
Daraus folgt:

∣ a_{n} - \sqrt{2} ∣ = ∣ \sqrt{a_{n}^{2}} - \sqrt{2} ∣

.
Um die Differenz der Quadratwurzeln

∣ \sqrt{a_{n}^{2}} - \sqrt{2} ∣

zu vereinfachen, multiplizieren wir mit dem konjugierten Ausdruck im Zähler und Nenner:

∣ \sqrt{a_{n}^{2}} - \sqrt{2} ∣ = \frac{∣ a_{n}^{2} - 2 ∣}{∣ \sqrt{a_{n}^{2}} + \sqrt{2} ∣}

.

Um den Bruch zu erhalten, führen wir die Multiplikation mit dem konjugierten Ausdruck

\sqrt{a_{n}^{2}} + \sqrt{2}

durch. Der Zähler ergibt nach der dritten binomischen Formel:

(\sqrt{a_{n}^{2}} - \sqrt{2}) \cdot (\sqrt{a_{n}^{2}} + \sqrt{2}) = {(\sqrt{a_{n}^{2}})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}

.
Da

{(\sqrt{a_{n}^{2}})}^{2} = a_{n}^{2}

und

{(\sqrt{2})}^{2} = 2

, erhalten wir:

(\sqrt{a_{n}^{2}} - \sqrt{2}) \cdot (\sqrt{a_{n}^{2}} + \sqrt{2}) = a_{n}^{2} - 2

.
Im Nenner bleibt:

\sqrt{a_{n}^{2}} + \sqrt{2}

.
Der Ausdruck vereinfacht sich zu:

∣ \sqrt{a_{n}^{2}} - \sqrt{2} ∣ = \frac{∣ a_{n}^{2} - 2 ∣}{\sqrt{a_{n}^{2}} + \sqrt{2}}

.

Da

lim_{n \to \infty} a_{n}^{2} = 2

, gilt für jedes

ε > 0

, dass es ein

N \in ℕ

gibt, sodass für alle

n \geq N

gilt:

∣ a_{n}^{2} - 2 ∣ < ε

.
Zusätzlich wissen wir, dass

\sqrt{a_{n}^{2}} \geq 0

, daher ist der Nenner

\sqrt{a_{n}^{2}} + \sqrt{2}

stets größer als

\sqrt{2}

. Insbesondere gilt für alle

n \geq N

\sqrt{a_{n}^{2}} + \sqrt{2} \geq \sqrt{2}

.
Setzen wir diese Schranken in den Ausdruck für

∣ a_{n} - \sqrt{2} ∣

ein, erhalten wir:

∣ a_{n} - \sqrt{2} ∣ = \frac{∣ a_{n}^{2} - 2 ∣}{\sqrt{a_{n}^{2}} + \sqrt{2}} \leq \frac{∣ a_{n}^{2} - 2 ∣}{\sqrt{2}}

.
Da

∣ a_{n}^{2} - 2 ∣ < ε

für

n \geq N

gilt, folgt:

∣ a_{n} - \sqrt{2} ∣ \leq \frac{ε}{\sqrt{2}}

.
Um sicherzustellen, dass

∣ a_{n} - \sqrt{2} ∣ < ε

gilt, wählen wir

ε ʹ = ε \cdot \sqrt{2}

.
Damit gilt:

∣ a_{n}^{2} - 2 ∣ < ε ʹ \Rightarrow ∣ a_{n} - \sqrt{2} ∣ < ε

.

Da wir gezeigt haben, dass für jedes

ε > 0

ein

N \in ℕ

existiert, sodass für alle

n \geq N

gilt:

∣ a_{n} - \sqrt{2} ∣ < ε

,
folgt nach der Definition des Grenzwerts:

lim_{n \to \infty} a_{n} = \sqrt{2}

.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

mathadvisor aktiv_icon

21:22 Uhr, 08.01.2025

Der Beweis ist in Ordnung, aber unnötig ausführlich. Mit etwas Struktur wird es auch übersichtlicher. Z.B.
"Die Folge (an2)n∈ℕ konvergiert also gegen 2. Da an≥0 für alle n, folgt, dass die Quadratwurzel von an2 existiert."
Wieso "also"? Das wussten wir schon vorher. Und die Quadratwurzel existiert immer, auch wenn

a_{n}

negativ wäre. Kann komplett gestrichen werden.
"Um den Bruch zu erhalten,...": Wieso, Du hast ihn doch schon erhalten?! Gehe logisch vor. Herleiten, hinschreiben (erst herleiten, dann als Ergebnis hinschreiben).
"Da limn→∞an2=2, gilt für jedes ε>0, dass es ein N∈ℕ gibt, sodass für alle n≥N gilt:
∣an2−2∣<ε."

ɛ

ist durch den Anfang gebunden, daher hier sinnvoll: "Da ... gibt es ein N... so dass

∣ a_{n}^{2} - 2 ∣ < \sqrt{2} ɛ

."
Das erspart auch die Einführung des zweiten epsilons.

Und das geht als kurze Gleichungskette:

∣ a_{n} - \sqrt{2} ∣ = ∣ \sqrt{a_{n}^{2}} - \sqrt{2} ∣ = \frac{∣ a_{n}^{2} - 2 ∣}{∣ \sqrt{a_{n}^{2}} + \sqrt{2} ∣} = \frac{∣ a_{n}^{2} - 2 ∣}{\sqrt{a_{n}^{2}} + \sqrt{2}} \leq \frac{∣ a_{n}^{2} - 2 ∣}{\sqrt{2}} < \frac{\sqrt{2} ɛ}{\sqrt{2}} = ɛ

.
Über den

=

- bzw. dem

\leq

-Zeichen notiere die Begründungen (Stichwort, kein Roman).
Schau die Beweise aus der Vorlesung an, da kann man das Vorgehen gut von lernen.

Sophia77 aktiv_icon

21:37 Uhr, 08.01.2025

Herzlichen Dank! Das ist echt viel besser!

Das ist irgendwie generell mein Problem, dass ich so viel "schwafle". Aber jetzt ergibt die kürzere Variante Sinn!

Dankeschön! :-)

mathadvisor aktiv_icon

21:41 Uhr, 08.01.2025

Reine Übungssache, das wird schon. Die richtigen Denkweisen hast Du ja schon.

Sophia77 aktiv_icon

21:42 Uhr, 08.01.2025

Herzlichen Dank für deine aufmunternden Worte. Ich dachte mir nie, dass ich im Lehramtstudium Mathe gleich im 1. Semester so etwas machen muss und überhaupt können muss. Aber ich bleibe daran und übe und hoffe, dass ich besser werde. Dankeschön nochmals! :-)

HJKweseleit aktiv_icon

22:49 Uhr, 08.01.2025

Es geht sogar noch kürzer und bruchfrei:

Sei

∣ a_{n}^{2} - 2 ∣ < ε \Rightarrow

∣ a_{n} - \sqrt{2} ∣ \leq ∣ a_{n} - \sqrt{2} ∣ \cdot ∣ a_{n} + \sqrt{2} ∣,

da wegen

a_{n} \geq 0

der Faktor

∣ a_{n} + \sqrt{2} ∣ > 1

ist (sogar

> \sqrt{2}),

...

= ∣ (a_{n} - \sqrt{2}) \cdot (a_{n} + \sqrt{2}) ∣ = ∣ a_{n}^{2} - 2 ∣ < ε

Somit:

∣ a_{n} - \sqrt{2} ∣ < ε .

Sophia77 aktiv_icon

23:04 Uhr, 08.01.2025

Dankeschön! Das schaue ich mir gleich an! :-)

Sophia77 aktiv_icon

23:04 Uhr, 08.01.2025

Dankeschön! :-) Das schaue ich mir gleich an!

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