Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Zeigen, dass Funktion differenzierbar

Zeigen, dass Funktion differenzierbar

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

Bierstuebli aktiv_icon

12:28 Uhr, 08.05.2016

Hallo Leute,

ich sitze gerade vor der Aufgabe, bei der ich zeigen soll, dass die Funktion differenzierbar ist, mittels Differenzenqotient.

Die funktion ist:

x + | x | | x - 2 |

Der Diff.qot. ist ja

\frac{f (x) - f (x 0)}{x - x (0)}

ich habe mir jetzt folgendes überlegt:

Für

x < 0 :

\frac{x + (- x) (- x + 2) - 0}{x - 0}

Ich habe die Vorzeichen gedreht, damit der Betrag erhalten bleibt.

\frac{1 + x - 2}{1}

x \to 0

also:

- \frac{1}{1}

für

x > 0 :

\frac{x + x (- x + 2) - 0}{x - 0}

\frac{1 - x + 2}{1}

x \to 0

also

\frac{3}{1} = 3

Durch die untersch. Differenzenquotienten ist die Funktion nicht differenzierbar.
Stimmt das?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

anonymous

22:51 Uhr, 08.05.2016

Hallo
Ich ahne

>

dass du die Funktion an der Stelle

x = 0

untersuchen willst,

>

dass "Ich habe die Vorzeichen gedreht, damit der Betrag erhalten bleibt." tatsächlich erklären will, dass du dort, wo die Betragsargumente kleiner Null sind, die Vorzeichen 'gedreht' hast, um die Betragsfunktion gerade nicht zu erhalten, sondern zu ersetzen,

>

und dass du auf der richtigen Spur bist.

Ich möchte dich ermutigen.
Ja du bist auf der richtigen Spur.
Nur leider machst du unheilich viele formale Fehler.
Wenn du es schaffst, das auch noch formal richtig zu stellen, dann könnte da was stimmiges raus kommen.

Tipp1:
Der Differenzenquotient ist nicht das, was du schreibst, sondern der Grenzwert dessen.
Es ist nicht schwer, ein paar mal 3 Buchstaben

' lim'

mehr zu schreiben.
Mit ein paar mal

' lim'

machst du dir und dem Leser klar, was du da treibst, und könnte es auch formal stimmig werden.

Tipp2:
Mal dir die Funktion mal auf Papier.

Tipp3:

y = x + | x | \cdot | x - 2 | = u (x) + v (x)

mit

u (x) = x

v (x) = | x | \cdot | x - 2 |

Das sieht jetzt zunächst komplizierter aus.
Aber dass

u (x) = x

stetig ist, das ist trivial.
Tatsächlich wird es so deutlich übersichtlicher und weniger zu schreiben, da du so nur noch die einfachere Funktion

v (x)

auf Stetigkeit zu untersuchen hast.

rundblick aktiv_icon

23:30 Uhr, 08.05.2016

.
"ich sitze gerade"

. .

\to

das ist gut so !

"vor der Aufgabe, bei der ich zeigen soll,
dass die Funktion differenzierbar ist,"

\to

hast du die Aufgabe richtig mitbekommen?
denn:

\to

die Funktion

f (x) = x + | x^{2} - 2 x | . .

. ist zwar für alle

x \in R

stetig
aber eben NICHT an allen diesen Stellen differenzierbar (an welchen nicht ?)

nun, du hast schon richtig

i . P

. den links- und den rechtsseitgen Grenzwert
des Differenzenquotienten AN DER STELLE

x = 0

ermittelt

(\to - 1

bzw.

\to + 3)

\to

der richtige Schluss aus diesen verschiedenen Werten ist:

\Rightarrow

AN DER STELLE

x = 0

ist

f

NICHT diffbar .

aber die Stelle

x = 0

ist nicht die einzige solche Stelle .. an welcher Stelle
ist

f

ebenfalls nicht diffbar?

und dann kannst du noch zeigen: an allen anderen Stellen wird

f

diffbar sein..

.

.

Bierstuebli aktiv_icon

12:37 Uhr, 09.05.2016

Schon mal Vielen Dank an euch beide!

Ich habe den Text schnell noch reingeschrieben, bevor ich los musste, deswegen die schlechte formale Schreibweise. Sorry!

Ich ahne schon worauf du hinaus willst, an der Stelle

x = 2

ist die Funktion auch nicht differenzierbar, das war der andere Aufgabenteil, an dieser Stelle zu testen. (Wieder

- 1

und 3 als links- bzw- rechtsseitiger GW).

Dazu hätte ich noch eine Frage, außer, dass man sieht, dass aufgrund der Beträge die Funktion "springt", kann man auch irgendwie rechnerisch erkennen, an welchen Stellen die Funktion nicht differenzierbar, also unstetig ist, OHNE, dass ich an speziellen Stellen teste? Ich meine bei komplizierten Funktionen sieht man das ja nicht sofort und ich kann ja nicht bei unendlich vielen Stellen testen oder? Wie zeige ich, dass die Funktion an allen anderen Stellen diffbar ist?

Dann noch zur Aufgabe: für die Stelle

x = 2

habe ich jetzt

x = 2 + h,

bzw.

2 - h

eingesetzt und dann den

lim

gebildet mit

h \to 0

Für die Stelle

x = 0

war das ja nicht notwendig, da

x \to 0

ging und der Funktionswert

x (0), 0

war.
In meinem Skript steht, dass das aber nur eine Möglichkeit sei (mehr oder weniger). Es reiche, wenn der GW

lim x \to X (0)

existiere. Was heißt das, dass der Grenzwert existiert?

anonymous

13:06 Uhr, 09.05.2016

Hallo nochmals

a)

"... an welchen Stellen nicht differenzierbar,

. .

. spezielle Stellen,

. .

. an allen anderen Stellen diffbar ist?"
Es ist typisch und in der Praxis ausreichend, an den 'speziellen' Stellen auf Unstetigkeit zu untersuchen:

>

bei Brüchen an den Stellen, an denen das Argument (der Nenner) NULL wird,

>

bei Beträgen (wie hier) oder signum-Funktionen an den Stellen, an denen das Vorzeichen des Arguments wechselt,

>

bei arcsin- oder arccos-Funktionen an den Stellen, an denen das Argument

+ 1

oder

- 1

wird,

>

bei Logarithmus-Funktionen an den Stellen, an denen das Argument negativ wird,

>

usw.

>

banal gesagt, an den Grenzstellen des Definitionsbereichs.
An allen sonstigen Stellen haben die haushaltsüblichen Funktionen ja keinen Grund, unstetig, sprunghaft oder nicht-differenzierbar zu werden.

b)

"für die Stelle

x = 2 . .

lim

gebildet mit

h \to 0

.
Für die Stelle

x = 0

war das ja nicht notwendig, da ..."
Hier drückst du dich ein wenig unklar aus.
Mache dir klar, dass bei beiden Stellen, bei beiden Vorgängen, ein und dasselbe Prinzip angewandt wurde.
Bei der Nullstelle war lediglich der 'Sonderfall' dass eben Nullstelle

x_{0} = 0,

Funktionswert

y (x_{0}) = 0

war.

c)

"In meinem Skript steht, dass

...

. Es reiche, wenn der GW existiere."
Rückfrage: hinreichend wofür?
Mach dir klar, dass es verschiedene Kriterien zu untersuchen gibt.

c . 1)

Wenn du die STETIGKEIT untersuchen willst, dann ist zu untersuchen, oder "hinreichend", wenn gilt:
linksseitiger Grenzwert des Funktionswerts = rechtsseitiger Grenzwert des Funktionswerts

c . 2)

Wenn du DIFFERENZIERBARKEIT untersuchen willst, dann ist zu untersuchen, oder "hinreichend", wenn gilt:

>

Stetigkeit

>

und
linksseitiger Grenzwert der Funktionsableitung = rechtsseitiger Grenzwert der Funktionsableitung

c . 3)

"Grenzwert-Existenz"
Ein Grenzwert exisitiert (meines Wissens), wenn

>

der Grenzwert definiert ist,

>

der Grenzwert endlich ist, also kein uneigentlicher Grenzwert UNENDLICH.
Ich gebe gerne zu, dass diese meine letztgenannte Definition auf meinem Erfahrungs-Halbwissen beruht.
Wenn es eine genauere, bessere Definition gibt, lade ich die Fachleute gerne ein, mich zu korrigieren.

rundblick aktiv_icon

13:52 Uhr, 09.05.2016

.
"an welchen Stellen die Funktion nicht differenzierbar, also unstetig ist,"

\to

deine Bemerkung zeigt, dass du einige Sachverhalte noch nicht begriffen hast

\to

und ausserdem schliesse ich, dass du dir nicht die Mühe machst, Antworten
sorgfältig durchzulesen, denn:

\to

dass deine Funktion überall (dh für alle

x \in R)

stetig ist,
(dh. nirgends unstetig ist

!)

wurde dir doch oben schon aufgeschrieben..

\to

Merke:
Wenn eine Funktion an einer Stelle nicht diffbar ist,
sagt das nichts aus über die Stetigkeit an dieser Stelle
(Diffberkeit ist NICHT notwendig für Stetigkeit)

aber umgekehrt

\to

wenn nicht stetig, dann nicht diffbar
nebenbei: beide Begriffe sind "punktweise" definiert ..

.

Bierstuebli aktiv_icon

23:28 Uhr, 09.05.2016

Also, habe ich das richtig verstanden:

- Für Differenzierbarkeit muss die Funktion stetig sein und der linksseitige Ableitungswert = rechtsseitiger Ableitungswert an einer bestimmten Stelle