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Zeigen, dass Ungleichung gilt für x>0

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Sonstiges

Tags: Sonstig, Ungleichung

studimartin aktiv_icon

19:29 Uhr, 18.10.2018

Moin,

hab ein Problem mit einer Ungleichung:

es gilt zu zeigen, dass

\frac{1}{1 + 2 x} - \frac{1 - x}{1 + x} > 0

für alle

x > 0

gilt und geben sie eine stabilere Form an.

Ich habe es jetzt auf diese Form gebracht:

\frac{2 x^{2}}{2 x^{2} + 3 x + 1} > 0,

weiß aber jetzt nicht weiter.

Auch was in diesem Fall stabiler ist weiß ich leider nicht.

Danke für hilfreiche Tipps

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

rundblick aktiv_icon

19:39 Uhr, 18.10.2018

\frac{2 x^{2}}{(1 + 2 x) \cdot (1 + x)} > 0 ... ... ... . .

. für alle

x > 0

"was in diesem Fall stabiler ist ...?"

\to

"stabiler" ist zB schon mal der Zähler - was weisst du von dem, wenn

x > 0

ist ?

..also...
.

studimartin aktiv_icon

19:46 Uhr, 18.10.2018

Danke für die schnelle Rückmeldung!!

Achso, also kann ich das schon an dieser form erkennen?

Ich weiß dann, dass er auf jeden Fall

> 0

ist.. aber reicht das als Angabe einer ,,stabileren Form"?

ledum aktiv_icon

19:56 Uhr, 18.10.2018

Hallo
da der Nenner wegen

x > 0

größer 0 ist kannst du damit multiplizieren. und hast ehern und stabil

2 x^{2} > 0

Gruß ledum

rundblick aktiv_icon

19:56 Uhr, 18.10.2018

\frac{2 x^{2}}{(1 + 2 x) \cdot (1 + x)} > 0 ... ... ... . .

. für alle

x > 0

"Ich weiß dann, dass er auf jeden Fall

> 0

ist."

Vorsicht:
du weisst dass der ZÄHLER auf jeden Fall

> 0

ist,
aber noch nicht, dass das auch für den Bruch so ist

\to

also mache dir Gedanken über das Vorzeichen des Nenners..

\to . .

.

und ganz nebenbei:

\frac{2 x^{2}}{(1 + 2 x) \cdot (1 + x)} > 0 . .

. gilt nicht nur für

x > 0 . .

. sondern für viel mehr x-Werte
kannst du ALLE

x

finden, für die deine Ungleichung gilt ?

\to ...

studimartin aktiv_icon

20:20 Uhr, 18.10.2018

Okay also das Vorzeichen des Nenners ist

> 0

wenn die beiden Faktoren

> 0

sind, dh

(1 + 2 x)

muss

> 0

sein und das ist der Fall wenn

x > (- \frac{1}{2})

ist..
und

(1 + x)

ist

> 0

wenn

x ≻ 1

ist.. ich stehe wahrscheinlich auf dem Schlauch aber das war auch ein wenig mein Problem den Nenner da mit einzubringen.

Kann ich jetzt schlussfolgern dass es dann für

x > 0

sowieso geht?

und mit der stabileren Form, sorry fürs blöd anstellen, ist die das jetzt schon?

Danke für die schnelle Hilfe!!

rundblick aktiv_icon

20:49 Uhr, 18.10.2018

\frac{2 x^{2}}{(1 + 2 x) \cdot (1 + x)} > 0 ... ... ... . .

. für alle

x > 0

wenn

x > 0 .

. dann ist sowohl

(1 + 2 x) > 0

als auch

(1 + x) > 0 .

\to

wie kannst du das sehen ohne zu rechnen? ..
und was kannst du dann über das Vorzeichen von

(2 x^{2} + 3 x + 1)

herausfinden ?

also:
wenn Zähler UND Nenner beide das gleiche Vorzeichen haben: ist der Bruch dann positiv?
was meinst ?

und nochmal ganz nebenbei:

\frac{2 x^{2}}{(1 + 2 x) \cdot (1 + x)} > 0 . .

. gilt nicht nur für

x > 0 . .

. sondern für viel mehr x-Werte
kannst du ALLE

x

finden, für die deine Ungleichung gilt ?

\to ...

?

.

studimartin aktiv_icon

13:17 Uhr, 20.10.2018

Sorry fürs späte antworten, hatte keine Meldung dass noch etwas kam..

Ich habe erkannt, dass der Nenner für

x > 0

auch größer 0 ist, da in beiden

(. .) (. .)

Faktoren ja zu der eins ein Vielfaches von

x

zuaddiert wird, dh beide Faktoren sind größer als

0 \to

der Nenner ist größer als

0 \to

Zähler und Nenner sind größer als

0 \to

der Ausdruck ist größer als 0

ich weiß nicht ob das jetzt zu unmathematisch ist, aber ich hätte dass jetzt so geschlussfolgert

und für negative Werte, die nahe an der 0 liegen gilt die Forderung auch, solange

1 + 2 \cdot x

dadurch nicht negativ wird

supporter aktiv_icon

13:24 Uhr, 20.10.2018

Fallunterscheidung im Nenner:

1. Beide Faktoren sind größer Null

2. Beide sind kleiner Null

. .

.

Nur dann ist der Nenner und der Bruch größer Null. :-)

rundblick aktiv_icon

13:29 Uhr, 20.10.2018

\frac{2 x^{2}}{(1 + 2 x) \cdot (1 + x)}

hast du schon mal mitbekommen, dass ein Produkt mit genau zwei Faktoren
auch positiv sein wird, wenn BEIDE Faktoren negativ sind?

kannst du jetzt vielleicht die Frage beantworten :
für welche

x \in ℝ

gilt

\to

(2x^^2)/((1+2x)⋅(1+x))

> 0

?

.

studimartin aktiv_icon

13:48 Uhr, 20.10.2018

Achso, ja klar, aber ich dachte es reicht wenn ich diesen Fall betrachte da ja explizit gesagt wurde dass ich es für

x > 0

zeigen soll.. aber ja natürlich das stimmt schon

Und zu deiner Frage:
der Ausdruck ist ja positiv wenn beide Faktoren im Nenner positiv oder beide Faktoren negativ sind..
positiv sind beide Faktoren für