Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Zeigen dass X^4 +3X³ +X² − 2X + 1∈Q[X] irreduzibel

Zeigen dass X^4 +3X³ +X² − 2X + 1∈Q[X] irreduzibel

Universität / Fachhochschule

Finanzmathematik

Tags: Algebra, irreduzibel, zeigen

S-amalgh

18:14 Uhr, 02.12.2020

Zeigen Sie, dass

X^{4} + 3 X^{3} + X^{2}

−

2 X + 1

∈

Q [X]

irreduzibel ist.

Hallo zusammen, könnte mir jemand helfen bitte?

Vielen Dank im Voraus! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

DrBoogie aktiv_icon

18:25 Uhr, 02.12.2020

Dieser Satz sagt dir, dass nur

\pm 1

als Nullstellen in Frage kommen:
de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen
Du prüfst dann direkt nach, dass sie keine Nullstellen sind.
Dann schreibst du das Polynom als

(a x^{2} + b x + c) (a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1})

und zeigst, dass es auch nicht geht.
UPDATE. Nach Lemma von Gauß kannst du hier annehmen, dass

a, b, c, a_{1}, b_{1}, c_{1}

ganze Zahlen sind.

S-amalgh

19:51 Uhr, 02.12.2020

wie kann ich nachprüfen, dass sie keine Nullstellen sind?

DrBoogie aktiv_icon

20:47 Uhr, 02.12.2020

Ich hab doch gesagt. :-O
Es können nur

1

oder

- 1

sein. Dass sie keine Nullstellen sind, prüft man direkt, indem man

X = 1

einsetzt.

S-amalgh

00:35 Uhr, 03.12.2020

wie kann ich das zeigen dass das nicht geht wie du gesagt hast?

(a x^{2} + b x + c) (a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}) = a a_{1} x^{4} + (a c + b a_{1}) x^{3} + (a c_{1} + b b_{1} + c a_{1}) x^{2} + (b c_{1} + c b_{1}) x + c c_{1}

Karl-Heinz001 aktiv_icon

00:43 Uhr, 03.12.2020

Ich würde in meiner Verzweiflung eine Kurvendiskussion starten. ;-)

www.wolframalpha.com/input/?i=plot+x%5E4%2B3x%5E3%2Bx%5E2-2x%2B1

DrBoogie aktiv_icon

08:53 Uhr, 03.12.2020

Du musst mit dem Originalpolynom vergleichen. Genauer Koeffizienten bei den gleichen Potenzen.
Du hast also

a a_{1} = 1

a b_{1} + b a_{1} = 3

a c_{1} + b b_{1} + c a_{1} = 1

b c_{1} + c b_{1} = - 2

und

c c_{1} = 1

.
Wegen

c c_{1} = 1

gibt's nur 2 Möglichkeiten:

c = c_{1} = 1

oder

c = c_{1} = - 1

.
Dasselbe gilt für

a, a_{1}

wegen

a a_{1} = 1

a = a_{1} = 1

oder

a = a_{1} = - 1

.
Das ergibt insgesamt 4 Varianten.
1. Fall.

c = c_{1} = 1

a = a_{1} = 1

Dann wird

a b_{1} + b a_{1} = 3

und

b c_{1} + c b_{1} = - 2

b_{1} + b = 3

und

b + b_{1} = - 2

, was natürlich nicht lösbar ist.
2. Fall.

c = c_{1} = 1

a = a_{1} = - 1

.
Dann wird

a b_{1} + b a_{1} = 3

und

b c_{1} + c b_{1} = - 2

- b_{1} - b = 3

und

b + b_{1} = - 2

, was auch nicht lösbar ist.
3. Fall.

c = c_{1} = - 1

a = a_{1} = 1

.
Dann wird

a b_{1} + b a_{1} = 3

und

b c_{1} + c b_{1} = - 2

b_{1} + b = 3

und

- b - b_{1} = - 2

, auch nicht lösbar.
4. Fall.

c = c_{1} = - 1

a = a_{1} = - 1

.
Dann wird

a b_{1} + b a_{1} = 3

und

b c_{1} + c b_{1} = - 2

- b_{1} - b = 3

und

- b - b_{1} = - 2

, auch nicht lösbar ist.

Also, in allen Fällen nicht lösbar, diese Zerlegung ist nicht möglich.

HAL9000

09:09 Uhr, 03.12.2020

Wobei man die Fälle 2 und 4 an sich "o.B.d.A." einsparen kann, indem man beide Polynome dort mit (-1) multipliziert und das damit auf die Fälle 1 und 3 zurückführt.

ermanus aktiv_icon

09:56 Uhr, 03.12.2020

Etwas "übersichtlicher" kommt man auch zum Ziel, wenn man modulo 3 rechnet.
Gruß ermanus

Senfboy

13:37 Uhr, 03.12.2020

@DrBoogie
Irgendiwe war mir so, dass das Nullstellenkriterium nur für Polynome in

Q

gilt, die Grad 2 und 3 haben. Ansonsten sind Nullstellen doch nicht notwendig für Reduzibilität, oder? Ich kann mich da natürlich auch total täuschen.

DrBoogie aktiv_icon

13:45 Uhr, 03.12.2020

Ich würde es nicht mal Kriterium nennen. Es ist bloß die Überlegung, wie können Faktoren aussehen, wenn man ein Polynom faktorisiert.
Wenn

a x^{2} + b x + c

faktorisiert wird, dann müssen zwangsläufig beide Faktoren linear sein, also von der Form

e x + f

. Wenn aber

e x + f

ein Faktor ist, dann ist

- f / e

eine Nullstelle. Daher muss man Nullstellen suchen.
Wenn

a x^{3} + b x^{2} + c x + d

faktorisiert wird, dann muss mindestens ein Faktor linear sein, also gibt's wieder eine Nullstelle.
Wenn man aber das Polynom des 4. Grades hat, dann kann man es auf eine von diesen 3 Arten faktorisieren (falls es nicht irreduzibel ist):
1.

(a x + b) (c x + d) (e x + f) (p x + q)

(a x + b) (c x + d) (e x^{2} + f x + q)

mit irreduziblem

e x^{2} + f x + q

(a x^{2} + b x + d) (e x^{2} + f x + q)

mit beiden irreduziblen Faktoren
In den ersten 2 Fällen hat man Nullstellen, im 3. Fall nicht. Daher muss man den 3. Fall extra betrachten.

Senfboy

13:48 Uhr, 03.12.2020

Ah ja, ich sehe es. Ich habe das immer einfach intuitiv gemacht diese Unterscheidungen, wenn ich in dieser Richtng was zeigen wollte. Ziemlich cool, dass ich da jetzt nochmal ne Begründung bekommen, vielen Dank! :-P)

S-amalgh

18:57 Uhr, 03.12.2020

@DrBoogie
Weil die Zerlegung nicht möglich ist, folgt dass das in

Q [x]

irreduzibel ist? oder muss ich noch was zeigen?
Vielen Dank im Voraus für die Antwort! :-)

DrBoogie aktiv_icon

19:00 Uhr, 03.12.2020

"Irreduzibel" und "Zerlegung nicht möglich" sind gleichbedeutend.
Mehr brauchst du nicht, aber du musst es richtig argumentieren: mit den Sätzen, die ich zitiert habe.

S-amalgh

19:22 Uhr, 03.12.2020

Meinst du nur der Satz über rationale Nullstellen oder?

DrBoogie aktiv_icon

19:28 Uhr, 03.12.2020

Ja, und auch Lemma von Gauss.

S-amalgh

20:50 Uhr, 03.12.2020

Meinst du das so mit Satz über rationale Nullstellen argumentieren? oder wie denn ?..

129142441_3500271556728227_3729148130940599817_n

DrBoogie aktiv_icon

20:58 Uhr, 03.12.2020

Grundsätzlich ja, wenn auch das ziemlich knapp gehalten ist.

DrBoogie aktiv_icon

20:59 Uhr, 03.12.2020

Im Endeffekt muss dein Ziel sein: es so zu erklären, dass andere Studenten deine Lösung nachvollziehen könnten - auch wenn sie das Thema noch nicht kennen.

S-amalgh

21:15 Uhr, 03.12.2020

Ja ich versuche jetzt das besser zu erklären ;-)
wie argumentiere ich noch Lemma von Gauß?

DrBoogie aktiv_icon

21:30 Uhr, 03.12.2020

Sie sagt im Grunde dies: wenn ein ganzzahliges Polynom keine Faktorisierung mit ganzzahligen Polynomen hat, dann hat er auch keine Faktorisierung mit rationalen Polynomen. Das nutzen wir, indem wir nur ganzzahlige Faktorisierungen betrachten.

en.wikipedia.org/wiki/Gauss%27s_lemma_(polynomial)

S-amalgh

21:46 Uhr, 03.12.2020

Irgendwie konnte ich das nicht argumentieren

: (

. Könntest du mir bitte das argumentieren?..
Vielen Dank im Voraus!

S-amalgh

21:47 Uhr, 03.12.2020

Irgendwie konnte ich das nicht argumentieren

: (

. Könntest du mir bitte das argumentieren?..
Vielen Dank im Voraus!

S-amalgh

23:15 Uhr, 04.12.2020

Dank euch für die Hilfe! :-))

DrBoogie aktiv_icon

23:33 Uhr, 04.12.2020

Ich würde die Lösung so aufschreiben.

Nach dem Lemma von Gauss
de.wikiversity.org/wiki/Lemma_von_Gau%C3%9F_(Z)/Eisenstein-Kriterium/Einf%C3%BChrung/Textabschnitt
reicht es zu zeigen, dass

P (X) = X^{4} + 3 X^{3} + X^{2} - 2 X + 1

über

ℤ

irreduzibel ist.

Nehmen wir an, dass dies nicht der Fall ist, also dass

X^{4} + 3 X^{3} + X^{2} - 2 X + 1

eine nichttriviale Faktorzerlegung hat.
Dann sind folgende Fälle möglich:
1.

P (X)

ist ein Produkt von 4 Polynomen des Grades 1
2.

P (X)

ist ein Produkt von 2 Polynomen des Grades 1 und eines Polynoms des Grades 2
3.

P (X)

ist ein Produkt von 2 Polynomen des Grades 2

Im 1. und 2. Fall hat

P (X)

eine Nullstelle. Nach dem Satz über rationale Nullstellen
de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen
können nur

1

und

- 1

als Nullstelle von

P

in Frage kommen. Direktes Einsetzen zeigt, dass beide keine Nullstellen sind.
Damit sind 1. und 2. Fall nicht möglich.

Im 3. Fall hat

P (X)

die Darstellung

P (X) = (a X^{2} + b X + c) (a_{1} X^{2} + b_{1} X + c_{1})

.
Durch Ausmultiplizieren bekommen

X^{4} + 3 X^{3} + X^{2} - 2 X + 1 = P (X) = a a_{1} X^{4} + (a b_{1} + b a_{1}) X^{3} + (a c_{1} + c a_{1} + b b_{1}) X^{2} + (c b_{1} + b c_{1}) X + c c_{1}

.
Koeffizientvergleich ergibt

a a_{1} = 1

a b_{1} + b a_{1} = 3

a c_{1} + c a_{1} + b b_{1}) = 1

c b_{1} + b c_{1} = - 2

c c_{1} = 1

Aus

c c_{1} = 1

folgt

c = c_{1} = 1

oder

c = c_{1} = - 1

Aus

a a_{1} =

folgt

a = a_{1} = 1

oder

a = a_{1} = - 1

Damit führt

a b_{1} + b a_{1} = 3

b + b_{1} = 3 / a = \pm 3

und

c b_{1} + b c_{1} = - 2

b + b_{1} = - 2 / c = \pm 2

.
Also,

b + b_{1} \neq b + b_{1}

, ein Widerspruch, der zeigt, dass der 3. Fall nicht möglich ist.

Damit ist gezeigt, dass eine nichttriviale Faktorzerlegung von

P (X)

nicht existiert. Also ist

P (X)

irreduzibel.

1521392

1520927

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?