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Zeigen dass Y³+(X+1)²Y+X²−1 irreduzibel in Q[X,Y]

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Tags: Algebra, irreduzibel, zeigen

S-amalgh

18:07 Uhr, 02.12.2020

Zeigen Sie, dass

Y^{3} + {(X + 1)}^{2} Y + X^{2}

− 1 irreduzibel in

Q [X, Y]

ist.

Hallo zusammen, könnte jemand mir helfen bitte?
Vielen Dank im Voraus! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

ermanus aktiv_icon

19:36 Uhr, 02.12.2020

Hallo,
sei

f (X, Y) = Y^{3} + (X + 1)^{2} Y + X^{2} - 1

.
Angenommeern,

f

wäre reduzibel, etwa

f = g h

mit

g, h \notin Q

. Dann kann man sich überlegen,
dass weder

g

noch

h

Polynome sind, in denen keine
Potenz von

Y

vorkommt, also

g, h \in Q [X, Y] \ Q [X]

.
Wir betrachten den Righomom. (Einsetzungshomom,)

φ : Q [X, Y] \to Q [Y], p (X, Y) \mapsto p (0, Y)

.
Es ist

φ (f) = Y^{3} + Y - 1

. Wenn dies irreduzibel ist,
ist "erst recht"

f

irreduzibel.
Gruß ermanus

S-amalgh

20:27 Uhr, 02.12.2020

Danke erstmal für deine Antwort! :-)
wie kann ich das zeigen (Es ist φ(f)=

Y^{3} + Y

−1. Wenn dies irreduzibel ist,
ist "erst recht"

f

irreduzibel.)?
Vielen Dank im Voraus ;-)

ermanus aktiv_icon

09:34 Uhr, 03.12.2020

Wenn

f

reduzibel ist, etwa

f = g h

mit

g, h \in Q [X, Y]

und

g, h

sind beide keine Einheiten in diesem Ring,
so kann man leicht zeigen, dass sowohl in

g

als auch in

h

die Unbestimmte

Y

vorkommen muss, also

g, h \in Q [X, Y] \ Q [X]

gilt.

φ (f) = φ (g) φ (h)

ist dann eine echte Zerlegung von

φ (f)

.
Gruß ermanus

S-amalgh

22:46 Uhr, 03.12.2020

sorry wenn ich immer viel frage aber was fehlt noch für die Lösung von der Aufgabe was du noch nicht gezeigt hast und ich das jetzt zeigen soll?

ermanus aktiv_icon

10:49 Uhr, 04.12.2020

Du musst noch 2 Dinge zeigen:
1. Wenn

f = g h

eine Zerlegung ist mit Nichteinheiten

g

und

h

,
dann kommt die Unbestimmte

Y

g

und in

h

so vor,
dass

g (0, Y)

und

h (0, Y)

keine Einheiten sind.
2.

Y^{3} + Y - 1

ist irreduzibel.
Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

11:59 Uhr, 04.12.2020

Du kannst natürlich auch eine ganz andere direktere Methode
verwenden, um die Irreduzibilität zu zeigen.
Reduzibilität würde bedeuten, dass es eine Zerlegung der Art

f = (a (X) Y + b (X)) \cdot (c (X) Y^{2} + d (X) Y + e (X))

gäbe mit

a (X), b (X), c (X), d (X), e (X) \in Q [X]

.
Multipliziere aus und mache Koeffizientenvergleich bezogen auf die
Koeffizienten der

Y

-Potenzen.
Du solltest einen Widerspruch herausbekommen.
Gruß ermanus

S-amalgh

15:35 Uhr, 04.12.2020

Wie kann ich 1. zeigen?

ermanus aktiv_icon

16:30 Uhr, 04.12.2020

Hallo,
1. zu zeigen scheint nicht ganz einfach zu sein
bzw. läuft im Endeffekt auf die direkte Methode von 11:59 hinaus.
Ich schlage daher vor, dass du die zuerst von mir angeregte
Methode vergisst und stattdessen gleich die "direkte" Methode
von 11:59 mit dem Koeffizientenvergleich verwendest.
Gruß ermanus

S-amalgh

17:20 Uhr, 04.12.2020

(a (X) Y + b (X))

⋅

(c (X) Y^{2} + d (X) Y + e (X))

= a X^{2} Y^{3} c + a X^{2} Y^{2} d + e a X^{2} Y + b X^{2} c Y^{2} + b X^{2} d Y + e b X^{2} =

(a X^{2} c) Y^{3} + (a X^{2} d + b X^{2} c) Y^{2} + (e a X^{2} + b X^{2} d) Y + e b X^{2}

Stimmt erst so? wenn ja, was soll ich jetzt machen?

DrBoogie aktiv_icon

17:31 Uhr, 04.12.2020

UPDATE. Korrigiert.

a (X)

c (X)

usw. sind Polynome. Du kannst nicht einfach

a X

usw. schreiben.
Es muss schon

a (X) c (X) Y^{3} + . . .

heißen.
Weiter vergleicht man Koeffizienten. Das Ergebnis ist

Y^{3} + . . .

.
Also muss schon

a (X) c (X) = 1

sein. Da es Polynome sind, ist es nur im Fall

a (X)

und

c (X)

konstante Polynome und

a = 1 / c

gelten.
Usw.

ermanus aktiv_icon

17:37 Uhr, 04.12.2020

Hallo,
da hast du etwas gänzlich falsch verstanden:

a (X)

ist ein Polynom in der Unbestimmten

X

,
nicht das Produkt von

a

und

(X)

.
Deswegen habe ich ja auch

a (X) \in Q [X]

etc. geschrieben.
Also ich bekomme beim Ausmultiplizieren folgendes heraus:

a (X) c (X) Y^{3} + (a (X) d (X) + b (X) c (X)) Y^{2} + (a (x) e (X) + b (X) d (X)) Y + b (X) e (X)

.
Nun mache Koeffizientenvergleich mit

Y^{3} + (X + 1)^{2} Y + X^{2} - 1

.
Du kannst oBdA

a (X) = c (X) = 1

annehmen.

P.S.: ah! sehe gerade, dass DrBoogie schneller war als ich :-)

S-amalgh

19:41 Uhr, 04.12.2020

Wenn

a (X) = c (X) = 1

Y^{3} + (d (X)) Y^{2} + (e (X) + b (X) d (X)) Y + b (X) e (X)

.

Was soll ich jetzt machen?
ganz ehrlich ich weiß nicht wie ich koeffizientenvergleich mache

ermanus aktiv_icon

20:30 Uhr, 04.12.2020

Der Koeffizient von

Y^{2}

muss

d (X) + b (X)

heißen.
Nun zum Koeffizientenvergleich:
Zwei Polynome in

Y

stimmen genau dann überein, wenn ihre Koeffizienten
gleich sind, also ...

S-amalgh

20:46 Uhr, 04.12.2020

keine Ahnung

b (X) = d (X)

? ich weiß nicht wie ich die Koeffizienten rechnen soll

DrBoogie aktiv_icon

20:59 Uhr, 04.12.2020

Der Koeffizient

Y^{2}

ist

0

, weil

Y^{2}

gar nicht vorkommt.
Also gilt

b (X) + d (X) = 0

.

Beispiel, wie man Koeffiziente vergleicht:

a (X) Y^{2} + b (X) Y + c (X) = (2 X + 1) Y^{2} + X

a (X) = 2 X + 1

b (X) = 0

c (X) = X

S-amalgh

21:17 Uhr, 04.12.2020

e (X) = X + 1

und

b (X) = X - 1

?
aber was ist

d (X)

dann..

DrBoogie aktiv_icon

21:33 Uhr, 04.12.2020

Du hast

b (X) + d (X) = 0

e (X) + b (X) d (X) = (X + 1)^{2}

b (X) e (X) = X^{2} - 1 = (X + 1) (X - 1)

Aus der letzten Gleichung folgt:

b = 1 / α, e = α (X^{2} - 1)

oder

b = (X + 1) / α, e = α (X - 1)

oder

b = (X - 1) / α, e = α (X + 1)

oder

b = (X^{2} - 1) / α, e = α

mit einem Faktor

α \neq 0

.
1. Fall.

b = 1 / α

. Dann

e = α (X^{2} - 1)

und aus der ersten Gleichung

d = - b = - 1 / α

. Damit

e (X) + b (X) d (X) = α (X^{2} - 1) - 1 / α^{2} \neq (X + 1)^{2}

für alle

α

(links gibt kein Term mit

X

, rechts

2 X

)
2. Fall.

b = (X + 1) / α

e = α (X - 1)

d = - b = (- X - 1) / α

und dann

e (X) + b (X) d (X) = α (X - 1) - (X + 1)^{2} / α^{2} \neq (X + 1)^{2}

(links negativer Koeffizient bei

X^{2}

, rechts ein positiver Koeffizient bei

X^{2}

)
Usw., 3. und 4. Fall ähnlich

S-amalgh

22:25 Uhr, 04.12.2020

3.Fall. b=(X−1)/α

, e =

(X + 1), d =

−b = (−

X + 1

)/α und dann

e (X) + b (X) d (X) =

(X + 1)

−

{(X - 1)}^{2}

/α^2 ≠

{(X - 1)}^{2}

4.Fall

b = (X^{2}

− 1 )/α

, e =

, d =

−b

= (

−X^2

+ 1)

/α und dann

e (X) + b (X) d (X) =

α −

{(X^{2} - 1)}^{2}

/α^2≠(X+1)^2

So?
Vielen Dank im Voraus! :-)

ermanus aktiv_icon

22:33 Uhr, 04.12.2020

Hier noch ein etwas anderer Weg:
Aus den drei Gleichungen

(1) - (3)

ergibt sich

e (X) - b (X)^{2} = (X + 1)^{2} (4)

.
Gleichung (3) liefert

b (- 1) e (- 1) = 0 (5)

Gleichung (4) liefert

e (- 1) - b (- 1)^{2} = 0 (6)

.
Aus (5) und (6) ergibt sich

b (- 1) = e (- 1) = 0

. Da

b (X)

und

e (X)

wegen (3) nicht konstant 0
sein können, ist -1 eine Nullstalle von

b (X)

und von

e (X)

,
d.h.

b (X) = (X + 1) p (X), e (X) = (X + 1) q (X)

, also wegen (3):

(X + 1) (X - 1) = (X + 1) (X + 1) p (X) q (X)

, was wegen der eindeutigen
Faktorzerlegung unmöglich ist.
Gruß ermanus

S-amalgh

22:47 Uhr, 04.12.2020

eine Frage

(1) . b (X) + d (X) = 0

(2) . e (X) + b (X) d (X) = {(X + 1)}^{2}

(3) . b (X) e (X) = X^{2}

−

1 = (X + 1) (X

−

1)

wieso Gleichung (1)

-

Gleichung

(3)

ergibt sich

e (X

)−

b {(X)}^{2} = {(X + 1)}^{2}

ermanus aktiv_icon

22:49 Uhr, 04.12.2020

Gleichung (1) liefert

d (X) = - b (X)

. Dies in (2) eibnsetzen.

S-amalgh

22:57 Uhr, 04.12.2020

Alles Klar dankeschön :-))

S-amalgh

22:59 Uhr, 04.12.2020

@ermanus @DrBoogie

Danke euch! ;-)

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