Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Zeigen, dass alternierende Folge divergiert

Zeigen, dass alternierende Folge divergiert

Universität / Fachhochschule

Tags: alternierende Folge, divergenz

gotnoidea aktiv_icon

22:19 Uhr, 04.12.2014

Hi,

ich soll zeigen (bzw. ich weiß), dass

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 2)}^{n}}{n^{2}}

nicht existiert, bzw. die Reihe divergent ist. Ganz einfach zu sehen, weil

a_{n} := \frac{{(- 2)}^{n}}{n^{2}}

keine Nullfolge ist.
Nur wie beweise ich das am elegantesten?

Ich habe Folgendes (wahrscheinlich Unelegantes oder formal nicht ganz Korrektes) getan:

Zeige, dass

a_{n} := \frac{{(- 2)}^{n}}{n^{2}}

keine Nullfolge ist.

\frac{{(- 2)}^{n}}{n^{2}} = \frac{{(- 1)}^{n} 2^{n}}{n^{2}}

Nun zeige, dass

\exists n_{0},

sodass

\forall n \geq n_{0}

gilt:

2^{n} > n^{2}

(induktiv)

Prüfe Ungl. für die ersten Glieder:

2^{1} > 1^{2} (w), 2^{2} = 2^{2} (f), 2^{3} = 8 < 9 = 3^{2} (f),

2^{4} = 16 = 4^{2} (f), 2^{5} = 32 > 25 = 5^{2} (w) \Rightarrow

Annahme:

2^{n} > n^{2}

gilt ab

n_{0} = 5

Induktionsvorraussetzung:

2^{n} > n^{2}

Induktionsanfang:

2^{5} = 32 > 25 = 5^{2} (w)

Induktionsbehauptung:

2^{n + 1} > {(n + 1)}^{2} \forall n \geq 5

\Leftrightarrow 2 \cdot 2^{n} > n^{2} + 2 n + 1

(Abschätzen von

2^{n}

mit IV)

2 \cdot 2^{n} > 2 n^{2} \geq n^{2} + 2 n + 1

\Leftrightarrow n^{2} \geq 2 n + 1

Diese Behauptung gilt

\forall n \geq 3

Damit ist

2^{n} > n^{2} \forall n \geq 5 \Rightarrow lim_{n \to \infty} \frac{2^{n}}{n^{2}} = \infty

Da der Faktor

{(- 1)}^{n}

lediglich einen alternierenden Effekt auf die Folge

\frac{2^{n}}{n^{2}}

hat und den Betrag nicht verändert, ist

lim_{n \to \infty} \frac{{(- 2)}^{n}}{n^{2}} = \infty

Somit ist

a_{n}

keine Nullfolge und die Reihe divergiert.

Ist das formal korrekt? Vor allem der letzte Teil? Wie mache ich es richtig?

LG und DANKE

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

23:16 Uhr, 04.12.2014

Die Ungleichung

2^{n} > n^{2}

für

n \in ℕ_{\geq 5}

reicht nicht aus, um zu zeigen, dass

lim_{n \to \infty} \frac{2^{n}}{n^{2}} = \infty

gilt.

Beispiel: Aus

2 \cdot n^{2} > n^{2}

für alle

n \in ℕ

kann man auch nicht

lim_{n \to \infty} \frac{2 n^{2}}{n^{2}} = \infty

folgern, denn tatsächlich ist

lim_{n \to \infty} \frac{2 n^{2}}{n^{2}} = 2 \neq \infty

.

Man kann aus

2^{n} > n^{2}

für

n \in ℕ_{\geq 5}

jedoch folgern, dass gilt:

\frac{2^{n}}{n^{2}} > \frac{n^{2}}{n^{2}} = 1

für alle

n \in ℕ_{\geq 5}

und daher ist (wenn der Grenzwert

lim_{n \to \infty} (\frac{2^{n}}{n^{2}})

existiert)

lim_{n \to \infty} (\frac{2^{n}}{n^{2}}) \geq lim_{n \to \infty} (1) = 1

.

Also divergiert

{(\frac{2^{n}}{n^{2}})}_{n \in ℕ}

oder konvergiert gegen einen Wert größer bzw. gleich

1,

was aber auch für die Aussage ausreicht, dass

{(\frac{2^{n}}{n^{2}})}_{n \in ℕ}

keine Nullfolge ist.

gotnoidea aktiv_icon

20:25 Uhr, 05.12.2014

Ah, okay, da bin ich wohl auf dem falschen Pfad gewesen.. Vielen Dank für die Richtigstellung!

LG

1203276

1203086

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?