Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Zeigen dass cosh bijektiv ist

Zeigen dass cosh bijektiv ist

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion

birdbox

11:30 Uhr, 09.12.2016

Hallo, ich soll zeigen, dass die Funktion

\cosh : R^{+} \to [1, \infty)

bijektiv ist und dass für die Umkehrfunktion Arcosh:

[1, \infty) \to R^{+}

gilt: Arcos(x) =

\ln (x + \sqrt{x^{2} - 1})

.

Wie geh ich denn hier am besten vor?
Vermutlich irgendwie zeigen, dass die Funktion cosh injektiv und surjektiv ist, wie mach ich das am besten? Wie zeige ich dass dann mit der Umkehrfunktion?
Freue mich auf jeden Tipp.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

ledum aktiv_icon

12:44 Uhr, 09.12.2016

Hallo
erstmal die Def, von

cosh (x)

hinschreiben, dann

cosh (ln (... .))

hinschreiben und feststellen dass das

= x,

und dann den Def. Bereich der Umkehrt bestimmen und schon bist du fertig. in der aufgäbe steht ja nicht, dass du den Ausdruck für die Umkehrfkt herleiten sollst. wenn du das willst setze erstmal

z = e^{x}

und lös die Gleichung nach

z

auf.
für objektiv brauchst du nur dass die fkt monoton (hier steigend) ist also

f' > 0

oder

f (x 2) > f (x 1)

für

x 2 > x 1

Gruß ledum

birdbox

16:15 Uhr, 09.12.2016

Hey danke für deine Antwort.

Ok, ich habe die Umkehrfunktion herleiten können.

Kannst du mir vielleicht noch erklären was du meinst mit "...den Def. Bereich der Umkehrt bestimmen", also wie bestimme ich das?

Und die Bijektivität würde mich noch interessieren. Ich denke wenn eine Umkehrfunktion existiert, ist schon gezeigt dass sie bijektiv ist, aber trotzdem.

Also Injektivität kann ich mit Monotonie zeigen oder? Du hast geschrieben:

f ʹ > 0

, heißt das, wenn die erste Ableitung größer 0 ist, dann ist sie monoton steigend? Warum?

Wie schaut es bei Surjektivität aus, wie gehe ich da vor?

Atlantik aktiv_icon

19:21 Uhr, 09.12.2016

Alternativer Weg zur Umkehrfunktion: (Definitionsbereich habe ich nicht beachtet)

y = cos h x

y = \frac{1}{2} (e^{- x} + e^{x})

y = \frac{1}{2 \cdot e^{x}} + \frac{1}{2} e^{x} | \cdot 2 e^{x}

y \cdot 2 e^{x} = 1 + e^{2 x}

y \cdot 2 e^{x} - e^{2 x} = 1

e^{2 x} - y \cdot 2 e^{x} = - 1 | + q . E . {(\frac{- 2 y}{2})}^{2} = y^{2}

{(e^{x} - y)}^{2} = y^{2} - 1

1 .) e^{x} = y + \sqrt{y^{2} - 1}

x, y

Tausch

e^{y} = x + \sqrt{x^{2} - 1}

y = ln (x + \sqrt{x^{2} - 1})

2 .) e^{x} = y - \sqrt{y^{2} - 1}

x, y

Tausch

y = ln (x - \sqrt{x^{2} - 1})

mfG

Atlantik

birdbox

20:05 Uhr, 09.12.2016

Hallo Atlantik, vielen dank, aber wie gesagt, die Formel habe ich schon herleiten können. Ich bräuchte noch Hilfe bei der Bijektivität.

Atlantik aktiv_icon

20:08 Uhr, 09.12.2016

Mit Bijektivität, Injektivität und Surjektivität kenne ich mich nicht aus.

mfG
Atlantik

birdbox

22:03 Uhr, 09.12.2016

Vielleicht hat sonst noch wer einen Tipp zu meinem 2ten Beitrag?

Auch habe ich noch konkrete Fragen, sollte es nicht reichen zu zeigen, dass die Funktion, also

\cosh

, 1) streng monoton und 2) stetig ist, dann folgt doch dass sie umkehrbar ist und das heißt ja wiederum dass sie bijektiv ist oder?

1) Wenn die Ableitung einer Funktion > 0, dann ist sie streng monoton steigend, richtig?
2) Wenn sie differenzierbar ist, ist sie auch stetig?

Wenn ich sie Ableiten kann ist sie doch differenzierbar, oder nicht?

ledum aktiv_icon

17:16 Uhr, 10.12.2016

Hallo
damit die Umkehrfkt. surjektiv ist, muss sie doch alle Werte von

ℝ^{+}

erreichen.

d . h

. sie muss alle Werte zw. 0 und

\infty

erreichen wenn

x

con 1 bis

\infty

geht.
mir deinen

1)

und

2)

hast du recht.
Gruß ledum

birdbox

10:59 Uhr, 11.12.2016

Danke für deine Antwort.

Also reicht es wenn ich die erste Ableitung von cosh mache, diese ist dann sinh und somit > 0, also ist cosh streng monoton steigend und auch stetig, daraus folgt, dass cosh umkehrbar ist und somit auch bijektiv ist?

Bin mit der Surjektivität noch nicht ganz im Boot: Ich muss alle Werte erreichen ok, wahrscheinlich irgendwie mit limes?
Kannst du mir das vielleicht mal aufzeichnen?

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1342686

1342270

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?