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Zeigen, dass diese Menge messbar ist?

Universität / Fachhochschule

Maßtheorie

Tags: Analysis, Maßtheorie, MATH, Mathematik

 
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anonymous

anonymous

21:53 Uhr, 30.11.2020

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Hallo!

Sei (Ω,M,μ) ein Maßraum und sei für messbare Funktionen f,g:Ω→ℂ:

f~g⇔f ist fast überall gleich g.

Nun möchte ich gerne zeigen, dass diese Definition Sinn macht also, dass Uf,g:={x∈Ω|f(x)≠g(x)} messbar ist.

Ich bin mir nicht ganz sicher wie ich das machen soll... Also eine komplexe Funktion f:Ω→ℂ heißt messbar, wenn für f=u+i⋅v die Funktionen u,v:Ω→ℝ messbar sind. Und solche reellen Funktionen sind messbar, wenn gilt:

Ov:={x∈Ω|u(x)>a} ist messbar ∀a∈ℝ.

Und da f und g messbar sind, setzte ich nun f=u+i⋅v und g=s+i⋅t mit u,v,s,t:Ω→ℝ.
Somit sind Ov,Ou,Os,Ot messbar. Ich dachte mir jetzt, dass ich durch Komplementbildung und abzählbaren Schnitten und Vereinigungen dieser O zeigen kann, dass Uf,g messbar ist...

Jemand einen Ansatz oder Tipps? Vielleicht irgendwie statt dem a∈ℝ eine Folge rationaler Zahlen benutzen und dann irgendwas vereinigen oder schneiden...?

Danke und LG


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

22:08 Uhr, 30.11.2020

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Zuerst mal für reellwertige Funktionen:

{x:f(x)≠g(x)}={x:f(x)-g(x)>0}∪{x:g(x)-f(x)>0}.
Und da f-g und g-f meßbar sind, sind beide Mengen rechts meßbar, also die Menge links meßbar.

Und für komplexwertige ist es dann einfach von reelwertigen abzuleiten.
anonymous

anonymous

04:11 Uhr, 01.12.2020

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Nice Danke!!
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