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Zeigen, dass ein Raum ein Banachraum ist

Universität / Fachhochschule

Tags: Banachraum

Mathe076 aktiv_icon

10:55 Uhr, 05.04.2016

"Sei I ein abgeschlossenes (endliches) Intervall,

L \in ℝ

. Versehen Sie den Raum

C (I; ℝ^{d})

der stetigen Funktionen mit der Norm

∣ ∣ z ∣ ∣_{X} := m a x_{t \in I} e^{- 2 L t} ∣ ∣ z (t) ∣ ∣_{ℝ^{d}}

Zeigen Sie, dass dieser Raum ein Banachraum ist. (Sie dürfen verwenden, dass der Raum

C (I; ℝ^{d})

versehen mit der "üblichen" Norm ein Banachraum ist). Geben Sie einen Teilraum von

C (ℝ; ℝ^{d})

(und eine Norm) an, sodass ein Banachraum entsteht."

Meine Idee wäre zu zeigen, dass die Cauchy-Folgen oder konvergenten Folgen bzg. der ersten Norm genau die Cauchy-Folgen oder konvergenten Folgen bzgl. der zweiten Norm sind. Würde das als Beweis reichen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

pwmeyer aktiv_icon

11:17 Uhr, 05.04.2016

Hallo,

das ist grundsätzlich richtig. Technisch etwas einfacher ist es, wenn Du den Begriff "äquivalente Normen" verwendest.

Gruß pwm

Mathe076 aktiv_icon

11:30 Uhr, 05.04.2016

Danke! Ich habs mit Cauchy-folgen gemacht. Passt das so oder soll ichs lieber auch für konvergente Folgen zeigen?

Bei der zweiten Frage bräuchte ich auch Hilfe. "Geben Sie einen Teilraum von

C (ℝ; ℝ^{d})

(und eine Norm) an, sodass ein Banachraum entsteht."

pwmeyer aktiv_icon

12:01 Uhr, 05.04.2016

Hallo,

formal gesehen musst Du das auch für die Konvergenz zeigen, ist aber praktisch derselbe Beweis.

Bei der zweiten Frage kann man es sich einfach machen und als Unterraum alle stetigen Funktionen auf

ℝ

nehmen, die außerhalb von

[0,1]

gleich 0 sind.

Gruß pwm

Mathe076 aktiv_icon

12:17 Uhr, 05.04.2016

Super, danke!

Dann reicht auch eigentlich schon das Argument, dass es ein abgeschlossener Unterraum von

C (ℝ; ℝ^{d})

ist, oder?

pwmeyer aktiv_icon

12:56 Uhr, 05.04.2016

Hallo,

irgendwie nicht, Du hast noch nichts über die Norm gesagt.

Übrigens könnte ich mir vorstellen, dass der (die) Aufgabensteller(in) eher mit dem Unterraum der beschränkten stetigen Funktionen rechnet.

Gruß pwm

Mathe076 aktiv_icon

13:42 Uhr, 05.04.2016

Ich dachte das würde mit der "üblichen" Norm gehen. Oder wie hast dus gemeint?

Auf jeden Fall, der Raum aller beschränkten und stetigen Funktionen. Kann ichs dort auch mittels Cauchyfolgen zeigen?

pwmeyer aktiv_icon

21:08 Uhr, 05.04.2016

Hallo,

"Ich dachte das würde mit der "üblichen" Norm gehen. Oder wie hast dus gemeint?"

Was ist die übliche Norm auf

C (ℝ, ℝ^{d})

?

"Auf jeden Fall, der Raum aller beschränkten und stetigen Funktionen. Kann ichs dort auch mittels Cauchyfolgen zeigen?"

Was heißt "es"? Vollständigkeit ist über Cauchy-Folgen definiert. Je nach Situation und VorKenntnissen kann man auch mit Abgeschlossenheit in einem übergeordneten Raum argumnetieren.

Gruß pwm

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