Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Zeigen, dass ein Ringelement nicht prim ist

Zeigen, dass ein Ringelement nicht prim ist

Universität / Fachhochschule

Ringe

Tags: Ring

MeinNichkname aktiv_icon

15:01 Uhr, 30.10.2013

Hallo,

ich möchte zeigen, dass

\sqrt{- 10} \in R := ℤ + ℤ \sqrt{- 10}

kein Primelement ist.

Meine Ideen:

\sqrt{- 10}

ist kein Primelement, wenn zwei Ringelemente

α, β \in R

mit (i)

\sqrt{- 10}

teilt

α β

, aber (ii)

\sqrt{- 10}

teilt weder

α

noch

β

, existieren.

Ich möchte dafür gerne die multiplikative Norm

N (a + b \sqrt{- 10}) = a^{2} + 10 b^{2}

verwenden. "Alles was zu tun ist", ist

α, β

mit (i) zu finden und dann

N (\sqrt{- 10}) = 10

teilt weder

N (α)

noch

N (β

) zu zeigen.

Doch mir gelingt es einfach nicht eine geeignete Faktorisierung für

\sqrt{- 10}

zu finden. Wie stellt man so etwas am besten an?

Gruß
ME

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

16:58 Uhr, 30.10.2013

Hallo,

hm es drängt sich ja folgendes auf:

- 10 = {\sqrt{- 10}}^{2} = - 2 \cdot 5

Geht da was?

Mfg Michael

MeinNichkname aktiv_icon

19:59 Uhr, 30.10.2013

Oh, du hast recht.

- 10

teilt natürlich

\sqrt{- 10}

, aber

N (\sqrt{- 10}) = 10

teilt weder

N (- 2) = 4

noch

N (5) = 25

.

Ich möchte jetzt noch zeigen, dass dieses Element

\sqrt{- 10}

sowie

2

und

5

nicht assoziiert und unzerlegbar sind.

Nicht assoziiert ist ja relativ offensichtlich: Sind Elemente

a, b

assoziiert, so muss

a ∣ b

und

b ∣ a

gelten. Das lässt sich mittels dieser Nrm recht einfach zeigen, dass dies bei obigen Dreien nicht funktioniert.

Doch wie sieht es mit der Unzerlegbarkeit aus? Dafür müssen die drei Elemente alle samt nur triviale Teiler besitzen; wie zeige ich dass das so ist?

Gruß
MN

michaL aktiv_icon

21:43 Uhr, 30.10.2013

Hallo,

besser ist es, folgendes Produkt zu betrachten:

7^{2} = 49 = (3 + 2 \sqrt{- 10}) (3 - 2 \sqrt{- 10})

.

Es gilt:

N (3 \pm 2 \sqrt{- 10}) = 49

Du musst beweisen, dass die Elemente

7

3 + 2 \sqrt{- 10}

und

3 - 2 \sqrt{- 10}

paarweise nicht assoziiert sind. Das ist recht einfach, da die einzigen Einheiten in diesem Ring die Elemente

\pm 1

sind.

Dass alle drei unzerlegbar sind, ist schon schwieriger.
Sei

a \in {7, + 2 \sqrt{- 10}, 3 - 2 \sqrt{- 10}}

und gelte

a = x y

für geeingete Elemente

x, y

.
Insbesondere gilt ja

49 = N (a) = N (x y) = N (x) N (y)

.
Damit bleiben nur die drei Fälle:
*

N (x) = 1

N (x) = 49

N (x) = 7

Der erste Fall bedeutet (was du noch beweisen müsstest), dass

x \sim 1

gilt, woraus aber

y \sim a

folgt. Der zweite Fall bedeutet genau umgekehrt

N (y) = 1 \overset{}{\Leftrightarrow} 1 \sim 1

, was aber

x \sim a

nach sich zieht.
Der letzte Fall kann aber nicht vorkommen in diesem Ring. Überlege dir, warum!

BtW: arbeitet euer Prof nach Meybergs "Algebra"? Da ist das ganze am Beispiel

ℤ + ℤ \cdot \sqrt{- 5}

durchexerziert. Gutes Beispiel!

Mfg Michael

MeinNichkname aktiv_icon

08:23 Uhr, 31.10.2013

Hallo michaL,

ich habe mal nachgesehen und ja, unter anderem ist auch die "Algebra" von Karpfinger/Meyberg mit an Bord.

Aber zurück zur Aufgabe: Ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich deine Anregungen anwenden kann.

In den Absätzen 1 - 4 gehst du wohl auf den Teil mit der Assoziiertheit ein, oder? Zeigen möchte ich dort, dass die Elemente

2

5

und

\sqrt{- 10}

nicht paarweise zueinander assoziiert sind. Warum soll ich dafür eine Faktorisierung der

49

?

In den restlichen Absätzen gehst du auf die Unzerlegbarkeit ein. Auch hier felht mir der Bezug zu den Elementen

2

5

und

\sqrt{- 10}

. Hast du mich falsch verstanden
oder erkenne ich einfach den Zusamenhang nicht? Wahrscheinlich ist letzteres der Fall. Bitte kläre mich noch auf ;-)

Liebe Grüße
MN

michaL aktiv_icon

10:54 Uhr, 31.10.2013

Hallo,

ich wollte einen Wechsel der zu betrachtenden Produkte vorschlagen. Warum? Weil ich der Meinung war, dass die Betrachtungen dichter am zitierten Beispiel in

ℤ + ℤ \cdot \sqrt{- 5}

bei Meyberg liegt.

Wie dem auch sei bzw. so oder so: Du kannst aufgrund der Multiplikativität der Norm zeigen, dass folgendes äquivalent ist:
*

x

ist in

R := (ℤ + ℤ \cdot \sqrt{- 10}, +, 0, -, \cdot, 1)

eine Einheit
*

N (x) = 1

Damit bleiben nur

\pm 1

als Einheiten in

R

.

Wozu brauche ich die?

Vermutlich habt ihr in der Vorlesung folgende Äquivalenz bewiesen:
*

x \sim y

, d.h.

x ∣ y ∣ x

\exists

Einheiten u,v

, s o d a s s

x=uy

u n d

y=vx

g i l t

Wenn ihr das nicht bewiesen habt, dann würde ich das für diese Aufgabe an deiner Stelle selbst tun. Der Beweis ist einfach!

Was ist damit dann geholfen?

Da du nun alle Einheiten kennst, kannst du einfach überprüfen, welche Elemente assoziiert sind. Weder sind

7, 3 + 2 \sqrt{- 10}, 3 - 2 \sqrt{- 10}

paarweise assoziiert (also keines ist zu keinem assoziiert), noch gilt das für

\sqrt{- 10}, - 2, 5

.

Die Unzerlegbarkeit finde ich in dem zweiten Beispiel besser zu machen. Warum?

49 = N (7)

ist das Quadrat einer Primzahl. Da habe ich nicht so viele Teiler, also nicht so viele mögliche Teiler von 7.
Alles klar?

Mfg Michael

MeinNichkname aktiv_icon

23:55 Uhr, 01.11.2013

Vielen Dank für dein Hilfe; hat mittlerweile geklappt ;-)

1122693

1122095

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?