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Zeigen, dass eine Abbildung winkeltreu abbildet

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

erstii

00:45 Uhr, 28.01.2018

Hallo zusammen,

Es geht um die Abbildung

σ : ℝ^{2} \to ℝ^{3}, (x, y) \mapsto (2 \frac{x}{1 + x^{2} + y^{2}}; 2 \frac{y}{1 + x^{2} + y^{2}}; \frac{- 1 + x^{2} + y^{2}}{1 + x^{2} + y^{2}})

Zeigen, dass

σ

winkeltreu ist.

D . h

. zeige für zwei beliebige sich schneidende Kurven

γ_{1}, γ_{2} : (a, b) \to ℝ^{2}

gilt: Der Schnittwinkel zwischen

γ_{1}

und

γ_{2}

ist derselbe wie der von

σ \circ γ_{1}

und

σ \circ γ_{2}

Der Schnittwinkel von

γ_{1}

und

γ_{2}

ist so definiert:
Seiten

t_{1}, t_{2} \in (a, b)

mit

y_{1} (t_{1}) = y_{2} (t_{2})

und

y_{i}' (t_{i}) \neq 0

cos (α) := \frac{< γ_{1}' (t_{1}), γ_{2}' (t_{2}) >}{| | y_{1}' (t_{1}) | | \cdot | | (y_{2}' (t_{2}) | |)}

Ich wollte die Aufgabe so lösen, indem ich das Standardskalarprodukt betrachte und die

l_{p}

-Norm und dann konkret

cos (α)

ausrechne und die Äquivalenz zeige. Normen sind auf endlichdimensionalen Vektorräumen ja äquivalent, ich nehme an, dass das auch für Skalarprodukte gilt.

Sei

γ_{1}' (t_{1}) = (\begin{matrix} x_{1} \\ y_{1} \end{matrix})

und

γ_{2}' (t_{2}) = (\begin{matrix} x_{2} \\ y_{2} \end{matrix})

.

Dann gilt:

cos (α) = \frac{x_{1} \cdot x_{2} + y_{1} \cdot y_{2}}{\sqrt{(x_{1}^{2} + y_{1}^{2}) \cdot (x_{2}^{2} + y_{2}^{2})}}

Wenn ich mir nun

σ \circ y_{i}

ansehe, dann müsste gelten

(J σ (x, y)

ist die Jacobi-Matrix von

σ

an der Stelle

(x, y)) :

cos (α) = \frac{< (σ \circ γ_{1})' (t_{1}), (σ \circ γ_{2})' (t_{2}) >}{| | (σ \circ γ_{1})' (t_{1}) | | \cdot | | ((σ \circ γ_{2})' (t_{2}) | |)}

= \frac{< σ' \circ γ_{1}' (t_{1}), σ' \circ γ_{2}' (t_{2}) >}{| | σ' \circ γ_{1}' (t_{1}) | | \cdot | | ((σ' \circ γ_{2}' (t_{2}) | |)}

= \frac{< J σ (x_{1}, y_{1}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ y_{1} \end{matrix}), J σ (x_{2}, y_{2}) \cdot (\begin{matrix} x_{2} \\ y_{2} \end{matrix}) >}{| | J σ (x_{1}, y_{1}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ y_{1} \end{matrix}) | | \cdot | | ((J σ (x_{2}, y_{2}) \cdot (\begin{matrix} x_{2} \\ y_{2} \end{matrix}) | |)}

So viel zur Grundidee.

Nach der gefühlt 200sten Äquivalenzumformung, ohne Aussicht auf Erfolg, ist mir dann die Lust vergangen.

Hat jemand einen anderen Ansatz um die Aufgabe zu lösen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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08:52 Uhr, 28.01.2018

Jacobi-Matrix berechnen und zeigen, dass sie winkeltreu ist
(Definition 3 c hier: www.staff.uni-oldenburg.de/wiland.schmale/LA2/LA2_Paragraf_12.pdf,
das reicht.

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