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Zeigen, dass es genau eine Nullstelle hat m. Rolle
Universität / Fachhochschule
Funktionen
Tags: Funktion, Nullstell, Zwischenwertsatz
 
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Die Aufgabe: Zeigen Sie: die folgende Funktion hat genau eine relle Nullstelle: Hinweis: Benutzen Sie den Zwischenwertsatz und den Satz von Rolle. Grundsätzlich wäre es ja kein Problem, wenn ein Intervall vorgegeben wurde, aber dies ist hier nicht der Fall. Dann habe ich mir gedacht, dass der Cosinus nur einen Wert zwischen 1 und annehmen kann, und man so festellen kann, dass für immer negativ und für immer positiv ist. Und so muss ich jetzt nur das Intervall betrachten. Doch der Gebrauch von Taschenrechnern ist nicht erlaubt und dies ist ja nützlich bei der Berechnung des Cosinus. Ich könnte sonst eine Abschätzung machen, doch dies wäre sehr schwamming und auch die Reduzierung auf das Intervall ist formell ja nicht ganz sauber, weshalb ich mir denke, dass ich irgendetwas falsch mache. Vorallem, weil da steht "Zeigen Sie" und da sollte es ja schon ziemlich formell sein. Ist mein Ansatz richtig oder gibt es einen schöneren Weg? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Durch Ableiten siehst du sofort, dass die Abbildung streng monoton wachsend ist, also kann es höchstens eine Nullstelle geben. Da sowohl positive als auch negative Werte annimmt (das hast du dir schon überlegt) erhältst du via Zwischenwertsatz also genau eine Nullstelle. |
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Danke! Macht Sinn! Der Satz von Rolle ist demfall gar nicht notwendig? |
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Nein, aber natürlich kannst du die Eindeutigkeit der Nullstelle alternativ auch mit dem Satz von Rolle zeigen. Zwei Nullstellen von würden demnach eine Nullstelle von implizieren (welche es aber nicht gibt). Diese Argumentation wäre insbesondere dann sinnvoll, wenn ihr die Implikation " streng monoton wachsend" noch nicht bewiesen habt. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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