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Zeigen, dass es keine Zahl n gibt mit phi(n) = 26

Universität / Fachhochschule

Tags: eulersche Phi-Funktion

 
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Piepo

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18:55 Uhr, 05.10.2021

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Moin,

ich hab in meiner Klausur die folgende Aufgabe bekommen:

Zeigen sie, dass es keine Zahl n N gibt mit phi(n) = 26. (phi ist die Eulersche Phi-Funktion)

Alle Ansätze und Hilfen werden dankend angenommen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

19:32 Uhr, 05.10.2021

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Für Primfaktorzelegung n=p1e1prer ist φ(n)=φ(p1e1)φ(prer) .

Nun ist φ(pkek)=(pk-1)pkek-1 durch 2 teilbar wenn entweder pk3 oder aber ek2 (d.h. im Fall pk=2) gilt.

Da in 26=213 Primfaktor 2 nur einmal vorkommt, sind zwei Haupt- und dann noch ein paar Unterfälle zu betrachten:

a) n=2e1 mit r12: Klappt nicht, denn φ(2e1)=2e1-126.

b) n=2e1p2e2 mit e1{0,1} und ungeradem p2, da ist φ(n)=(p2-1)p2e2-1=26, und damit (p2-1) ein gerader Teiler von 26.

b1) p2-1=26 bedeutet p2=27, das ist aber keine Primzahl, Widerspruch.

b2) p2-1=2 bedeutet p2=3, aber dann bedeutet (p2-1)p2e2-1=23e2-1=26 schließlich 3e2-1=13, was ebenfalls nicht erfüllbar ist.

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Ähnlich systematisch kann man z.B. auch bei φ(n)=24 vorgehen, nur dass man bei diesem Wert dann 10 (!) statt 0 Treffer landen sollte.