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Zeigen, dass zwei Vektoren linear abhängig sind

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Körper

Gogoman96 aktiv_icon

17:12 Uhr, 16.01.2019

Hallo liebe Community

Ich soll zeigen, dass folgendes gilt für 2 linear abhängige Vektoren.

(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}); (\begin{matrix} c \\ d \end{matrix}) \in K^{2}

sind genau dann linear abhängig wenn gilt:

ad-bc=0

Mein Ansatz bis jetzt

Wir nehmen an, dass die beiden Vektoren linear abhängig sind.

Also

μ (\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}) = λ (\begin{matrix} c \\ d \end{matrix})

Heißt

μ a = λ c

udn

μ b = λ d

und jetzt

a = \frac{λ}{μ} c

b = \frac{λ}{μ} d

jetzt eingesetzt in

ad-bc=0

also

\frac{λ}{μ} (d c - d c) = 0

wäre das Richtig so?

Danke im voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

michaL aktiv_icon

17:39 Uhr, 16.01.2019

Hallo,

nee, gerade nicht. Du sollst ja zeigen, dass die Gleichung

a d - b c = 0

(1)
gültig ist.

Versuche es so: Aus

λ (\begin{array}{c} a \\ b \end{array}) + μ (\begin{array}{c} c \\ d \end{array}) = 0

folgt ja wegen der linearen Abhängigkeit, dass nicht zugleich

λ = μ = 0

gelten muss. Insbesondere kann man oBdA annehmen, dass es

λ

ist, was NICHT Null ist.
Dann kannst du die Vektorgleichung umformen zu

(\begin{array}{c} a \\ b \end{array}) = - \frac{μ}{λ} (\begin{array}{c} c \\ d \end{array})

.

Den Bruch kürzen wir ab, sodass die Gleichung so aussieht:

(\begin{array}{c} a \\ b \end{array}) = ν (\begin{array}{c} c \\ d \end{array})

.
Insbesondere sind wir eine der Variablen los geworden:

a = ν c

b = ν d

Nun eliminierst du aus diesem Gleichungssystem (2 Gleichungen, drei Variablen) das

ν

. Daraus ergibt sich die Gleichung (1).

Mfg Michael

Gogoman96 aktiv_icon

18:26 Uhr, 16.01.2019

Dankeschön

Hast mir sehr geholfen

:-D)

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