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Zeigen ob die Aussage Wahr oder richtig ist?

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Tags: Erwartungswert, test, Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

 
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MathFanatiker

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11:36 Uhr, 27.10.2024

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Ich soll zeigen, ob die Aussage wahr oder falsch ist.

Die Aufgabenstellung und die Ansätze liegen als Bilder!



Aufgabe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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MathFanatiker

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11:43 Uhr, 27.10.2024

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Mein Ansatz liegt hier

Bildschirmfoto vom 2024-10-27 11-41-55
Antwort
Roman-22

Roman-22

12:46 Uhr, 27.10.2024

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Warum da i2.. steht und nicht i1... ist mir nicht einsichtig. Das hat nix damit zu tun, dass 1 womöglich nicht als Zufallszahl angenommen wird.
Übrigens wäre ja auch Null eine natürliche Zahl (nach aktueller Norm) und dennoch gehört da k1P(Zk) hin.

Ansonsten: Verwende P(Z=k)=P(Zk)-P(Zk+1) und schreibe dir die ersten paar Glieder der Summe k[kP(Z=k)] explizit an.


EDIT. Bemerke eben erst, dass du ja nur zeigen sollst, ob die Aussage wahr oder falsch ist und nicht, dass du sie herleiten sollst.
Da sie (mit i2) falsch ist, genügt dazu ein einfaches Gegenbeispiel.

Nimm etwa die Verteilung, bei der nur Z=3 mit Wahrscheinlichkeit 1 angenommen wird.
Der Erwartungswert ist natürlich 3, aber i2P(Zi)=2.
Antwort
HAL9000

HAL9000

15:04 Uhr, 27.10.2024

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Richtig, es gilt per Vertauschung der Summationsreihenfolge

E(Z)=k=1i=1kP(Z=k)=!i=1k=iP(Z=k)=i=1P(Zi)

Das ist aber nur dann gleich i=2P(Zi), wenn P(Z1)=0, was wiederum nur für die konstante Zufallsgröße Z=0 stimmt (wenn wir mal annehmen, dass hier die 0 mit umfasst).


---------------------------------

Falls (wie im zweiten Text steht) Z nur Werte 2 annimmt, dann ist stattdessen P(Z1)=1, und die Formel müsste in diesem Fall lauten

E(Z)=1+i=2P(Zi),

auch möglich ist hier E(Z)=2+i=3P(Zi).

MathFanatiker

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20:12 Uhr, 27.10.2024

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Kannst du mir vielleicht die Vertauschung der Summationsreihenfolge detailliert erklären, warum man sie anwenden kann? Und was da genau gemacht wurde?


Ab da wusste ich leider nicht mehr weiter :(
Antwort
HAL9000

HAL9000

09:13 Uhr, 28.10.2024

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Es wird jeweils über alle Paare (k,i) positiver ganzer Zahlen mit der Eigenschaft ik summiert. Ob man zunächst außen über k summiert (was innen 1ik bedeutet) oder aber außen über i (was innen zu ki führt), ist egal.

Eine Anmerkung zu dieser dabei stattfindenden Umsortierung einer unendlichen Reihe. Für eine Reihe mit nichtnegativen Gliedern (wie sie hier vorliegt) ist eine solche Umsortierung immer statthaft: Im Konvergenzfall sowieso, da durch die Nichtnegativität "Konvergenz" und "absolute Konvergenz" dieser Reihe äquivalent sind. Im Divergenzfall gibt es nur die bestimmte Divergenz gegen , welche sich durch die Umsortierung auch nicht ändert - dieser Fall mündet in E(Z)=.

MathFanatiker

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10:05 Uhr, 28.10.2024

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Welche Regeln gelten denn beim Vertauschen der Summationen ? Hast du da vielleicht ein Bsp ?

Antwort
HAL9000

HAL9000

15:19 Uhr, 28.10.2024

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Die Regel heißt "Kommutativität der Addition", in Formel: a+b=b+a.


Vielleicht hilft es dir, wenn ich die Summe k=1kP(Z=k)=k=1i=1kP(Z=k) mal etwas "bildhaft" darstelle:

P(Z=1)+
P(Z=2)+P(Z=2)+
P(Z=3)+P(Z=3)+P(Z=3)+
P(Z=4)+P(Z=4)+P(Z=4)+P(Z=4)+


Summiert man hier dann zunächst vertikal, so gelangt man zu eben jenem i=1k=iP(Z=k). Hier ist dann i als Spaltennummer zu verstehen.

Antwort
tobit

tobit aktiv_icon

20:35 Uhr, 28.10.2024

Antworten
Um die Gültigkeit der Vertauschung der Summationsreihenfolge hier nachzuweisen, genügt der "normale" Umordnungssatz für eine Reihe nicht ohne Weiteres, sondern man wird wohl auf den großen Umordnungssatz (siehe z.B. www.spektrum.de/lexikon/mathematik/grosser-umordnungssatz/4859 ) zurückgreifen.
MathFanatiker

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21:21 Uhr, 28.10.2024

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Aber hätte ich dann nicht in der obigen Gleichung P(Z=1) mehrfach stehen, weil die zweite Summer über i immer von 1 bis k geht. In der unteren Gleichung hätte man aber P(Z=1) nur einmalig stehen ?
Antwort
tobit

tobit aktiv_icon

21:28 Uhr, 28.10.2024

Antworten
Du meinst, in k=1i=1kP(Z=k) werde über P(Z=1) mehrfach summiert?
Zwar geht i von 1 bis k, aber für k=1 sind die Werte von 1 bis k nicht viele, sondern nur einer...
MathFanatiker

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22:00 Uhr, 28.10.2024

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Aber ansonsten wird P(Z=1) mehrfach summiert, weil die innere Summation für jedes k erneut ausgeführt wird und P(Z=1) neu berechnet wird?
Antwort
HAL9000

HAL9000

22:45 Uhr, 28.10.2024

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Was du da beschreibst, ist k=1i=1kP(Z=i) - das steht aber nicht da, sondern stattdessen k=1i=1kP(Z=k). Allem Anschein nach mangelt es dir an der nötigen Aufmerksamkeit und Sorgfalt, die Summensymbolik richtig zu lesen.

Mein letzter Beitrag (wo deutlich in dem Schema nur einmal P(Z=1) auftaucht) war diesbezüglich auch für die Katz, auch den hast du komplett ignoriert. :(

Frage beantwortet
MathFanatiker

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23:13 Uhr, 28.10.2024

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Stimmt, danke vielmals!