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Zeigen sie, dass die Menge ein Vektorraum ist...

Universität / Fachhochschule

Lineare Unabhängigkeit

Vektorräume

Tags: Lineare Unabhängigkeit, Vektorraum

 
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Mitmoc

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22:14 Uhr, 12.01.2010

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Hallo,
ich bräuchte mal Hilfe bei folgender Aufgabe:

Zeigen sie, dass die Menge

U = {f: R -> R | f(x) = a sin(x + phi) mit a, phi elemente von R

ein Vektorraum ist, und dass die Funktionen sin x und cos x eine Basis von U bilden.


Ich kenne die Definition eines Vektorraumes, allerdings kann ich nichts damit anfangen. Ich weiß nicht wie ich vorgehen soll =/.
Und wie ist der 2te Teil der Aufgabe gemeint ? Soll man sin x und cos x getrennt betrachten, dann sind sie linear unabhängig und span(sin x) (oder wie soll man das schreiben ? ist gleich U
=> sin x und cos x bilden eine Basis von U.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
ermanus

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23:34 Uhr, 12.01.2010

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Hallo,
hier hoffentlich Brauchbares:

U erbt die Vektorraumstruktur von der Menge ℝℝ.
Daher mussen wir nur noch die Abegschlossenheit von U bzgl.
Multiplikation mit einem Skalar in ℝ und Abgeschlossenheit bzgl.
der Addition nachweisen.

1. Abgeschlossenheit bzgl. der Multiplikation mit einem Skalar:
Sei f∈U und b∈ℝ, dann gibt es a∈ℝ und φ∈ℝ
mit f:x↦a⋅sin(x+φ), dann hat b⋅f die Zuordnungsvorschrift
b⋅f:x↦(b⋅a)⋅sin(x+φ), wobei wieder b⋅a∈ℝ ist, also
b⋅f∈U, da die Zuordnungsvorschrift vom richtigen Typ
"irgendeine reelle Zahl mal sin von (x+ eine andere reelle Zahl)"
ist.

2. Abgeschlossenheit bzgl. der Addition (der schwere Fall !)
Seien f und g∈U:
Dann gibt es a∈ℝ und φ∈ℝ mit
f(x)=a⋅sin(x+φ)
und b∈ℝ und ψ∈ℝ mit
g(x)=b⋅sin(x+ψ).
Wir müssen nun zeigen:
Es gibt ein c∈ℝ und ein χ∈ℝ mit
(f+g)(x)=f(x)+g(x)=c⋅sin(x+χ).
Um voran zu kommen verwenden wir das Additionstheorem
für den Sinus:
sin(u+v)=sin(u)⋅cos(v)+sin(v)⋅cos(u).
Das liefert in unserem Falle:
g(x)=a⋅sin(x+φ)+b⋅sin(x+ψ)=
a⋅sin(x)⋅cos(φ)+a⋅sin(φ)⋅cos(x)+b⋅sin(x)⋅cos(ψ)+b⋅sin(ψ)⋅cos(x)=
(a⋅sin(φ)+b⋅sin(ψ))⋅cos(x)+(a⋅cos(φ)+b⋅cos(ψ))⋅sin(x).
Wenn wir nun ein c∈ℝ und ein χ∈ℝ finden können, so dass
dieser Ausdruck gleich c⋅sin(χ)⋅cos(x)+c⋅cos(χ)⋅sin(x) wird,
so folgt aus c⋅sin(x+χ)=c⋅(sin(χ)⋅cos(x)+cos(χ)⋅sin(x))
die Behauptung.
Um dieses zu erreichen setzen wir
1. a⋅sin(φ)+b⋅sin(ψ)=c⋅sin(χ) und
2. a⋅cos(φ)+b⋅cos(ψ)=c⋅cos(χ).
Diese beiden Gleichungen teilen wir nun durch einander:
a⋅sin(φ)+b⋅sin(ψ)a⋅cos(φ)+b⋅cos(ψ)=tan(χ).
Hieraus ergibt sich χ, indem wir auf die linke Seite
den Arcustangens tan-1 loslassen.
Aus der Gleichung 1. erhalten wir dann ein c∈ℝ und damit sind wir fertig.

So, nun bist Du mal wieder dran,

Gruß Hermann
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