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Zeigen sie die Äquivalenz der Aussagen
Universität / Fachhochschule
Sonstiges
Mengentheoretische Topologie
Tags: Äquivalenz, mengen, Mengentheoretische Topologie, Sonstiges, Teilmengen
 
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Seien A und zwei Mengen. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind. 1. 2. 3. Da meine mathematischen Kentnisse noch nie überragend waren, bin ich schon bei dieser einfachen Aufgabe auf Hilfe angewiesen. Ich dachte das (ausgehend von 1. und die Obermenge wäre, somit jedes Element aus A auch in vorhanden ist und der Durchschnitt alle Elemente von A enthält da die Menge liegt. Ich denke meine Verwirrung wurde nun nur allzu ersichtlich, deshalb: Wie kann ich die Äquivalenz der obigen Aussagen zeigen? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, Äquivalenz ist grundsätzlich eine Sache zwischen ZWEI Aussagen. Du könntest also dabei gehen und folgende Äquivalenzen zeigen: 1) <=> 2), 2) <=> 3) Daraus würde dann automatisch 1) <=> 3) folgen. Alternativ könntest du irgend zwei dieser drei Äquivalenzen zeigen und hättest damit die Äquivalenz aller drei Aussagen bewiesen. Noch interessanter ist allerdings der Ringschluss (schneller gehts bei drei Aussagen aber auch nicht). Wenn du 1) => 2) => 3) => 1) beweist, hast du auch alle Äquivalenzen abgedeckt. Geh doch einfach mal bei und versuche sich gemäß Ringschluss an 1) => 2). Dann sehen wir weiter. Mfg Michael |
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Die Sache ist ja, dass mir nicht klar ist wie ich hier die Äquivalenz zeigen soll (einfacher wäre es wenn ich die Mengen mit Elementen füllen dürfte). |
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"Wenn ich die Mengen mit Elementen füllen dürfte" Das wäre dann allenfalls ein Beispiel, wie du dir sicher denkst, allerdings könnte dir das beim verständnis helfen. Wenn du dich für Michaels Vorschlag entscheidest, dann beginne mit 1. . Also zu zeigen ist: Hier macht es Sinn sich klar zu machen, was es heißt, wenn ein beliebiges Element in der Menge liegt und wenn man dann sieht, dass diese beliebigen Elemente gerade alle Elemente aus A sind, stellt man fest, dass und . (Letzteres brauchst du nicht unbedingt) Kommst du vielleicht bis zu diesem Punkt und kannst dann daraus schließen, dass: gelten muss? (Sicher gibt es (elegantere) Alternativen) |
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Hallo, > (einfacher wäre es wenn ich die Mengen mit Elementen füllen dürfte) Ja, dann wäre es aber auch ein erheblich(!) geringeres Problem. Du musst leider die Sache sehr allgemein angehen. Denn die Aussage hängt nicht von irgendwelchen Besonderheiten der Mengen und ab. das ist es (unter anderem), was Mathe vom Rechnen unterscheidet. Allgemein machen Anfängern die grundsätzlichen Beweismethoden zu schaffen. Als da wären: * heißt gerade: * Wenn man eine Implikation () zeigen will, kann man auch zeigen. Das letztere resultiert aus einer Beweismethode genannt Widerspruchsbeweis: Zeige: . Voraussetzung: Sei also die Aussage wahr. Zu beweisen ist . Annahme: Es gilt . Wenn man nun beweisen hat, dann gilt also . Das steht aber im Widerspruch zur Voraussetzung. Konkret angewendet wäre das bei 1) => 2) etwa so zu machen: Voraussetzung: Es gelte Zu zeigen: Annahme: , d.h. wegen würde gelten: , d.h. es gibt ein Element , für das NICHT gilt. Dann muss aber wegen eben gelten. Nun verwenden wir, dass gilt, d.h. für jedes Element gilt auch , d.h. insbesondere. Wir haben allerdings ein Element gefunden, für das das nicht gilt. Für gilt: , aber nicht . Widerspruch So, alles sehr lang, da sehr ausführlich. Und: ja, kann man da auch allein drauf kommen? Nun, ich habe das zu Beginn auch nicht geschafft (glaube ich; jedenfalls nicht bei allen Sachen). Aber man muss das schaffen. Das sind die einfachen Sätze und Beweise. Einfacher wird es nicht mehr (wirklich). Nur Mut! Mfg Michael |
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Vielen Dank! Ich habe es dank euer Hilfe geschafft die Äquivalenz nachzuweisen, nun geht es gleich mit den De Margo'schen Gesetzen weiter! Ich werde so gut es geht versuchen mich da durch zu kauen! Danke nochmal für eure Hilfsbereitschaft! |
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