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Zeigen von Aussagen zu den Primzahlen

Universität / Fachhochschule

Primzahlen

Tags: Primzahl

anonymous

16:53 Uhr, 24.05.2011

Hallo, habe Probleme bei folgenden Aufgaben:

a)

Sind

p_{1}, ..., p_{n}

Primzahlen, die bei Division durch 4 den rest 3 ergeben, dann teilt keine dieser Primzahlen die Zahl

m = 4 \cdot p_{1} \cdot p_{2} \cdot ... p_{n} - 1

b)

Sind

p_{1}, ..., p_{n}

Primzahlen, die bei Division durch 4 den rest 1 ergeben, dann hat ihr Produkt ebenfalls Rest 1 bei Division durch 4.

c)

Es gibt unendlich viele Primzahlen, die sich in der Form

4 k - 1

schreiben lassen (geeignetes

k

aus natürlichen Zahlen).

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Teilbarkeit natürlicher Zahlen

michaL aktiv_icon

18:59 Uhr, 24.05.2011

Hallo,

zu a): Es hilft, sich klarzumachen, dass es keine Primzahl

p

und keine benachbarten natürlichen Zahlen

n

und

n + 1

gibt, die BEIDE durch

p

teilbar sind.
Damit kannst du a) knacken (egal, welche Form die Primzahlen haben).

b) macht man induktiv.

c): Naja, da hat ja jemand durch a) und b) mit dem Zaunpfahl gewinkt. Euklids Idee verwenden!

Mfg Michael

anonymous

10:06 Uhr, 25.05.2011

Deine Hinweise helfen mir leider nicht.
Hilft vielleicht weiter, dass a kongruent

b mod m

geschrieben werden kann als

m

teilt

a - b,

also hierbei 4 teilt p1,....,pn

- 3

michaL aktiv_icon

10:17 Uhr, 25.05.2011

Hallo,

hm, das ist sehr grundlegend.
Kannst du erst einmal beweisen, dass aus

p ∣ n

folgt, dass nicht

p ∣ n + 1

?

Das ist (wie angemerkt) sehr einfach und geht auf viele Wege.

Mfg Michael

anonymous

10:28 Uhr, 25.05.2011

Tut mir leid, stehe völlig auf dem Schlauch. Das ist ja eigentlich völlig einleuchtend.
Ich kommen nicht wirklich weiter.

n = p \cdot x

n + 1 = p \cdot y

michaL aktiv_icon

14:51 Uhr, 25.05.2011

Hallo,

man das ist wirklich eine Trivialität!!!

Z.b.:

3 ∣ 21

, aber nicht

3 ∣ 22

, weil die nächste durch 3 teilbare Zahl erst ... ist.
Und das mathematisieren. Das schaffst du doch, oder?

Mfg Michael

anonymous

16:08 Uhr, 25.05.2011

Erst

n + p

kann wieder

p

teilen, also in dem Fall

21 + 3

michaL aktiv_icon

16:44 Uhr, 25.05.2011

Hallo,

genau. Beweis: Gäbe es eine kleinere Zahl als

n + p

, etwa

n + k

mit

k < p

, so wäre mit

p ∣ n

und

p ∣ n + k

auch

p ∣ (n + k - n)

, d.h.

p ∣ k

, was für keine Zahl

0 < k < p

gilt.
Variante: Wegen

n + 1 - n = 1

, sind

n

und

n + 1

stets teilerfremd!

So, betrachte nun die beiden Zahlen

x := 4 \cdot p_{1} \cdot \dots \cdot p_{n}

und

m := x - 1

. Eine der beiden Zahlen ist durch

p_{1}

teilbar, die andere nicht. Eine der beiden ist durch

p_{2}

teilbar, die andere nicht. ... Eine der beiden Zahlen ist durch

p_{n}

teilbar, die andere nicht.
Welche? Und warum?

Mfg Michael

anonymous

20:01 Uhr, 25.05.2011

Das

x

ist durch die Primzahl teilbar,

x - 1

kann es dementsprechend dann nicht sein.
Begründung:

x

und

x - 1

sind immer teilerfremd.

michaL aktiv_icon

20:48 Uhr, 25.05.2011

Hallo,

das ist also Aufgabenteil a), gell?

Bei b) würde ich die schwächere Aussage "Sind zwei Zahlen

a, b

kongruent 1 modulo 4, so auch deren Produkt." beweisen. Das geht einfach: Sei

a = 4 k + 1

b = 4 l + 1

, dann ist

a b = (4 k + 1) (4 l + 1) = 16 k l + 4 k + 4 l + 1 = 4 (4 k l + k + l) + 1

Damit kannst du die geforderte Aussage induktiv nach der Anzahl

n

der Primfaktoren beweisen.
Probier mal!

Mfg Michael

anonymous

13:36 Uhr, 26.05.2011

Okay, die

a)

wäre jetzt geschafft. Bei der

b)

würde ich folgendes machen:

p 1 = 4 x + 1, p 2 = 4 y \cdot 1,

pn=4z+1. Multiplikation ergibt

(4 x + 1) \cdot (4 y + 1) ... \cdot (4 z + 1)

und dann?

michaL aktiv_icon

11:54 Uhr, 27.05.2011

Hallo,

alles auf einmal wäre (ehrlich gesagt) dusselig. Mathematik hat ja (gegenüber den ganzheitlichen Fächern) den Vorteil, schrittweise arbeiten zu können.

Der Ansatz ist zwar korrekt, aber es wird nur mit zwei (!) Faktoren gearbeitet. Also:

(4 k + 1) (4 l + 1)

ist modulo 4 zu betrachten.

Mfg Michael

anonymous

12:39 Uhr, 27.05.2011

OK, aber das hast du doch schon gezeigt. 4(4kl+k+l)+1 heißt Rest 1 bei modulo 4.
Und die Aufgabe

c)

michaL aktiv_icon

21:41 Uhr, 27.05.2011

Hallo,

nun, damit ist doch gezeigt, dass das Produkt zweier Zahlen, die kongruent 1 modulo 4 sind, selbst wieder kongruent 1 modulo 4 ist.
Damit ist auch das Produkt dreier Zahlen, die kongruent 1 modulo 4 sind, wieder kongruent 1 modulo 4.
So wird das Aufgabenteil b).

Verwende Euklids Gedanken, der beweist, dass es unendliche viele Primzahlen geben muss, mit einer leichten Abwandlung!

Mfg Michael

anonymous

15:43 Uhr, 28.05.2011

Das Produkt von Primzahlen der Form

4 k + 1

ist wieder eine Primzahl der Form

4 k + 1

(4 k + 1) \cdot (4 k + 1) = 16 k^{2} + 8 k + 1 = 4 (k^{2} + 2 k) + 1

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