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Zeilenrang = Spaltenrang
Universität / Fachhochschule
Matrizenrechnung
Tags: Matrizenrechnung
 
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hi, ich lerne aus buch lineare algebra von jänich und habe bei dessen beweis für den satz, dass spaltenrang und zeilenrang einer matrix gleich sind verständnisschwierigkeiten: Er nennt spalten (bzw. zeilen) die aus anderen spalten (zeilen) linearkombiniert werden können linear überflüssig. durch das weglassen einer linear überflüssigen spalte ändert sich natürlich der spaltenrang nicht, zu zeigen bleibt, dass sich dabei auch der zeilenrang nicht ändert. im jänich steht nun dazu: "Angenommen in einer Matrix A sei die j-te Spalte linear überflüssig. Dann ist nicht nur für jede Zeile, sondern auch für jede Linearkombination von Zeilen die j-te Komponente linear überflüssig " (dass ist mir auch noch klar, den aus den koeffizienten, mit denen die j-te spalte aus den übrigen kombiniert wird muss sich ja dann auch in jeder zeile das element der j-ten spalte aus den übrigen zeilenelementen kombinieren lassen). "daraus folgt, dass eine linearkombination von zeilen von a genau dann Null ist, wenn die entsprechende Zeilenkombination der durch weglassen der j-ten spalte verkleinerten matrix null ist. deshalb haben a und die durch weglassen einer linear überflüssigen spalte entstehende matrix dieselbe maximalanzahl linear unabhängiger zeilen, also denselben zeilenrang" dieser zweite teil bereitet mir schwierigkeiten. so wie ich es verstehe steht da, dass wenn eine linearkombination von zeilen vorher null ergeben hat, dann muss sie, wenn ich in jeder zeile das j-te element weglasse, immer noch null sein? irgendwie kommt es mir so vor als hätte ich da irgendetwas übersehen. vielen dank für jeden denkanstoß, lg LarsMcLuc Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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