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Zeilenvektoren, Determinante

Universität / Fachhochschule

03:41 Uhr, 19.11.2014

Sei A ∈ Mn (ℝ), seien

v 1, ...,

vn die Zeilenvektoren von A und seien λ1,..., λn reelle Zahlen, die nicht gleich alle Null sind. Zeigen Sie: Wenn

n

E

λkvk

= 0

k = 1

gilt, dann ist

det (A) = 0

.

Kann mir einer die Lösung verraten ?

08:31 Uhr, 19.11.2014

Determinante ist linear bzgl. Spalten (oder Zeilen).
Außerdem ist Determinante =0, wenn Matrix zwei Gleiche Spalten oder Reihen hat.

08:40 Uhr, 19.11.2014

Hallo,

offenbarkommt ihr von der gleichen Gruppe:
http//www.onlinemathe.de/forum/Matrizen-und-Determinanten-1

Mfg Michael

08:41 Uhr, 19.11.2014

Warum reden Leute nicht einfach miteinander... :-)

09:59 Uhr, 19.11.2014

Könnten Sie mir die Aufgabe einmal vorrechnen? Wäre sehr hilfreich. Danke

10:19 Uhr, 19.11.2014

λ_{i}

nicht alle

0

λ_{i_{0}} \neq 0

für ein

i_{0}

.
Dann folgt aus

λ_{1} v_{1} + . . . + λ_{n} v_{n} = 0

, dass

v_{i_{0}} = - (\sum_{j \neq i_{0}} λ_{j} v_{j}) / λ_{i_{0}}

.
Dann

\det (A) = \det (v_{1} ∣ v_{2} ∣ . . . ∣ v_{n}) = \det (v_{1} ∣ v_{2} ∣ . . ∣ - \sum_{j \neq i_{0}} λ_{j} v_{j}) / λ_{i_{0}} ∣ . . ∣ v_{n}) =

= - \frac{1}{λ_{i_{0}}} \sum_{j \neq i_{0}} \det (v_{1} ∣ v_{2} ∣ . . ∣ v_{j} ∣ . . ∣ v_{n}) = - \frac{1}{λ_{i_{0}}} \sum_{j \neq i_{0}} 0 = 0

,
wo die Linearität von

\det

benutzt wurde und die Tatsache, dass

\det = 0

, wenn zwei Spalten der Matrix gleich sind.

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