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Zentrum der Diedergruppe

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Tags: Gruppen

anonymous

10:03 Uhr, 07.06.2012

Hallo :-)

Ich wollte das Zentrum der Diedergruppe Dn bestimmen.
Dn

= {1, T, . .

, T^{n - 1}, s, T s, ..., T^{n - 1} s | T^{n} = s^{2} = 1, T^{n - 1} s = s T}

Ich hab schon durch Probieren rausgefunden, dass für ungrade

n

größer 2 nur die Identität im Zentrum liegt.
Für alle geraden

n

größer

2,

liegt die Identität und

T^{\frac{n}{2}}

im Zentrum.
Jetzt will ich das beweisen und hab mich gefragt, ob es mit Induktion geht.

Kann mir vielleicht jemand sagen, ob man das so machen kann oder mir eine andere Beweisvariante vorschlagen?

Vielen Dank schon mal

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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12:03 Uhr, 08.06.2012

Direkt zeigen:
Da

D_{n}

von

s

und

T

erzeugt wird, liegt

g \in D_{n}

im Zentrum genau dann, wenn

s g = g s

und

T g = g T

g = 1

liegt trivialerweise im Zentrum.

g = s

liegt genau dann im Zentrum, wenn

T g = g T,

denn

s g = g s

gilt trivialerweise. Da aber

s T = T^{n - 1} s

ist das genau dann der Fall, wenn

n = 2

g = T^{k}, 1 \leq k < n,

liegt genau dann im Zntrum, wenn

s g = g s,

denn

T g = g T

gilt trivialerweise. Nun ist

s g = s T^{k} = {(T^{n - 1})}^{k} s = T^{n k - k} s

(dies zeigst du ggf. per Induktion nach

k)

. Das ist

= T^{k} s

genau dann, wenn

n k - k \equiv k (mod n),

also wenn

2 k

Vielfaches von

n

ist. Das ist jedoch wegen

k < n

nur möglich wenn

2 k = n

g = T^{k} s, 1 \leq k < n,

liegt genau dann im Zentrum, wenn

s g = g s

und

g T = T g

. Hier ist

g s = T^{k}

und

s g = {(T^{n - 1})}^{k} s s = {(T^{n - 1})}^{k},

was wie oben auf

2 k = n

führt. Andererseits ist

g T = T^{k + n - 1} s

und

T g = T (k + 1) s

. Es muss also auch

k + n - 1 \equiv k + 1 (mod n)

sein, was auf

2 \equiv 0 (mod n),

also

n = 1

oder

n = 2

führt. Wegen

n = 2 k

bleibt nur

n = 2

.

Zusammenfassend ergibt sich also:

Z = D_{2},

wenn

n = 2

Z = {1, T^{k}},

wenn

n = 2 k > 2

Z = {1}

sonst

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