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Zerfällungskörper
Universität / Fachhochschule
Körper
Tags: Körper
 
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anonymous 21:34 Uhr, 19.01.2020  |
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Hallo, Es sei f(x)=x^2+ax+b Element aus K[x] ein irreduzibles Polynom. In der Körpererweiterung K[x]/(f) besitzt f eine Nullstelle. Der Grad der Körpererweiterung ist 2. Warum muss f(x) zwingend eine zweite Nullstelle besitzen ? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: | |
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Hallo, > Warum muss f(x) zwingend eine zweite Nullstelle besitzen ? Über dem Körper ist das Polynom nicht mehr irreduzibel. Man kann da den Faktor abspalten. Insbesondere ist der andere Faktor also wieder ein Linearfaktor. OBdA kann man als normiert ansehen, dann ist der zweite Linearfaktor ebenfalls von der Form . Damit ist also als zweite Nullstelle ebenfalls Element von . Mfg Michael |
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Hallo, als kleine Ergänzung: nach Vieta ist die zweite Nullstelle . Gruß ermanus |
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anonymous 08:09 Uhr, 20.01.2020 |
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Ahh okay Was ist eigentlich die Charakteristik von K[x]|(f)? |
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Hallo, die Charaktersitik verändert sich nicht durch Erweiterung. Bedenke (wenn ihr das schon hattet), dass es zu jedem Körper einen kleinsten Körper gibt, der darin enthalten ist: der so genannte Primkörper. So ist z.b. der Primkörper von und der Körper . (Der Primkörper ist sozusagen der von 1 erzeugte Unterkörper.) Und genau darin liegt das Glück: Was die 1 erzeugt, wird durch Erweiterung weder kleiner noch größer. Und: Wie oft man die 1 addieren kann, bis sich etwas wiederholt (die Charakteristik), ist doch genau durch das festgelegt, was die 1 erzeugt. Mfg Michael |
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anonymous 10:48 Uhr, 20.01.2020 |
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Dankeschön ! |
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