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Zerfällungskörper finden

Universität / Fachhochschule

Körper

Polynome

Tags: Körper, polynom, Zerfällungskörper

KTest00 aktiv_icon

21:04 Uhr, 21.05.2018

Hallo,

ich soll (s. Anhang) Zerfällungskörper für einige Polynome finden.

Leider ist mir anhand der Defintion aus der Vorlesung nicht ganz klar, was ein Zerfällungskörper ist.
Unsere Defintion:
"Ein Körper K heißt Zerfällungskörper für ein nicht-konstantes Poylnom

p \in K [x]

, falls p in (nicht notwendigerweise verschiedene) lineare Faktoren zerfällt (in

K [x]

)."

Für das erste Polynom aus der Aufgabe z.B.:
Es gilt:

x^{3} + 4 x^{2} + x + 4 = (x + 4) (x^{2} + 1) = (x + 4) (x + i) (x - i)

So - und nun? Mir ist nicht klar was jetzt zu tun ist.
Ist jetzt nicht einfach

ℂ

ein Zerfällungskörper für das Polynom? Und wenn nein, wieso nicht?

Für das zweite Polynom:
Es gilt:

x^{3} + x^{2} - 3 x - 3 = (x + 1) (x^{2} - 3) = (x + 1) (x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3})

Genau so hier: Ist nicht

ℝ

ein Zerfällungskörper für das Polynom?

Danke im Voraus.

VG KTest00

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung
Raummessung

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21:07 Uhr, 21.05.2018

Du wirst nie Mathe lernen, wenn Du nur Vorlesungen als Quelle des Wissens hast. ;-)

Zerfällungskörper bekommt man dadurch, dass man Nullstellen zu dem ursprünglichen Körper hinzufügt und den Körper entsprechend erweitert.

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21:10 Uhr, 21.05.2018

"Für das erste Polynom aus der Aufgabe"

Da steht

ℤ_{5}

, daher geht das anders. In diesem Körper gilt

x^{2} + 1 = (x - 2) (x - 3)

KTest00 aktiv_icon

21:12 Uhr, 21.05.2018

Danke schonmal.

Tatsächlich habe ich bereits versucht, anderweitig rauszufinden, was genau das ist - allerdings habe ich hier nur Themen zur Vorlesung 'Algebra' gefunden und habe gedacht, dass es in meinem Fall (Lineare Algebra) eventuell auch eine andere Lösung gibt - deshalb hier die Frage ;-)

Wie sieht das denn dann konkret aus?

Beim zweiten Polynom z.B.:

ℚ [\sqrt{3}]

(

ℚ

adjungiert Wurzel 3)?

Wie sähe es dann beim ersten und beim letzten Polynom aus?
Funktioniert das da genau so? Und ist das oben richtig?

Danke im Voraus.

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21:12 Uhr, 21.05.2018

"Für das zweite Polynom:
Es gilt: x3+x2−3x−3=(x+1)(x2−3)=(x+1)(x−3√)(x+3√)
Genau so hier: Ist nicht ℝ ein Zerfällungskörper für das Polynom?"

Nein,

ℚ (\sqrt{3})

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21:19 Uhr, 21.05.2018

"Wie sähe es dann beim ersten und beim letzten Polynom aus?"

Das erste zerfällt über

ℤ_{5}

in lineare Faktoren, daher muss man den Körper nicht erweitern.

Beim letzten ist es

(x^{3} + 5) (x - 2)

, daher braucht man noch

- \sqrt[3]{5}, \sqrt[3]{5} e^{π i / 3}

und

\sqrt[3]{5} e^{5 π i / 3}

. Daher ist der Zerfällungskörper

ℚ (\sqrt[3]{5}, e^{π i / 3})

KTest00 aktiv_icon

21:48 Uhr, 21.05.2018

Danke schonmal.

Das letzte Polynom ist aber

x^{4} - 2 x^{3} + 5 x - 10 x

(nicht 10), also quasi

x^{4} - 2 x^{3} - 5 x

.

Aber hier finde ich leider keine 'schönen' Nullstellen, mit denen ich erweitern könnte.
Gibt es denn noch eine andere Möglichkeit oder übersehe ich etwas?

DrBoogie aktiv_icon

08:55 Uhr, 22.05.2018

"Das letzte Polynom ist aber"

Ist bestimmt ein Fehler, wer würde schon

5 x - 10 x

schreiben und nicht sofort

- 5 x

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