Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Zerfällungskörper von X^4+X^3+1

Zerfällungskörper von X^4+X^3+1

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Galoistheorie, Körper, Zerfällungskörper

mihisu aktiv_icon

20:48 Uhr, 13.09.2017

Gesucht ist der Zerfällungskörper

N

des Polynoms

f (X) = X^{4} + X^{3} + 1 \in ℚ [X]

über

ℚ,

sowie der Grad

[N : ℚ]

der Körpererweiterung von

ℚ

nach

N

.
Und der Isomorphietyp der Galoisgruppe

Γ (N | ℚ)

soll bestimmt werden.

\\\\

Ich habe bereits gezeigt, dass

f

irreduziebl über

ℚ

ist.

Sonst habe ich auch herausgefunden, dass

f (x) > 0

für alle

x \in ℝ

ist, so dass

f

keine reellen Nullstellen hat. Es gibt also

α, β \in ℂ \ ℝ

mit

f (X) = (X - α) (X - \bar{α}) (X - β) (X - \bar{β})

.

Da ich nicht sehe, wie man

α, β

konkreter bestimmen könnte, hätte ich den Zerfällungskörper nun einfach als

N = ℚ (α, β)

angegeben.

Nun komme ich jedoch bei dem Grad

[N : ℚ]

nicht weiter.

\\\\

Dass

[ℚ (α) : ℚ] = [ℚ (β) : ℚ] = 4

ist, ist klar. Daher ist

[N : ℚ]

ein Vielfaches von 4.

Andererseits ist

[N : ℚ]

ein Teiler von

4!

.

Es wäre also zunächst

[N : ℚ] \in {4, 8, 12, 24}

möglich.

\\\\\\\\
Die Frage ist nun: Wie kann ich hier

[N : ℚ]

konkret bestimmen.?
\\\\\\\\

Falls es hilft:
Bei einer vorigen Aufgabe, sollte man das gleiche Polynom über

F F_{2}

betrachten. Da hatte ich kein Problem, da ich dann

f (X + 1) = {(X + 1)}^{4} + {(X + 1)}^{3} + 1 = X^{4} + X^{3} + X^{2} + X + 1

hatte, weshalb ich da ein wenig Theorie über Kreisteilungskörper verwenden konnte.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

michaL aktiv_icon

07:37 Uhr, 14.09.2017

Hallo,

> Da ich nicht sehe, wie man α,β konkreter bestimmen könnte, hätte ich den Zerfällungskörper nun einfach als
> N=ℚ(α,β) angegeben.

Da

f

den Grad 4 hat, könntest du natürlich einfach mit der Lösungsformel für diesen Grad die Nullstellen berechnen. Das ist aber umständlich und, soweit ich das sehe, auch nicht notwendig.

> Ich habe bereits gezeigt, dass f irreduziebl über ℚ ist.

Ok, das hab ich nicht kontrolliert, nehme aber mal an, dass es stimmt.

> Nun komme ich jedoch bei dem Grad [N:ℚ] nicht weiter.
> Dass [ℚ(α):ℚ]=[ℚ(β):ℚ]=4 ist, ist klar. Daher ist [N:ℚ] ein Vielfaches von 4.

Nun, die Frage ist doch, welchen Grad wohl das Minimalpolynom

μ_{β; ℚ (α)}

von

β

über

ℚ (α)

haben wird!
Bedenke: Wegen
> f(X)=(X−α)(X−α¯)(X−β)(X−β¯)
gilt mit

α \in ℚ (α)

doch auch

\overline{α} \in ℚ (α)

. Welchen Grad wird dann das Minimalpolynom

μ_{β; ℚ (α)}

haben?

Bleiben wir erst einmal dabei. Die Galoisgruppe ergibt sich dann aus diesen Überlegungen!

Mfg Michael

mihisu aktiv_icon

11:15 Uhr, 14.09.2017

Erst einmal vielen Dank für deine Antwort.

Ja, das mit der Lösungsformel für Grad 4 ist klar. Das wollte ich jedoch eigentlich vermeiden. Es ist mir ja auch gar nicht so wichtig, wie

α

und

β

konkret aussehen. Mir geht es eher um den Grad der Körpererweiterung.

Das mit

α

auch

\bar{α} \in ℚ (α)

ist sehe ich jetzt nicht sofort. Kannst du das genauer begründen?

In die Richtung hatte ich auch schon gedacht, deshalb habe ich auch

N = ℚ (α, β)

stehen gehabt, was ich eigentlich in der Frage nicht schreiben wollte, da ich das noch nicht ausreichend begründen konnte. Ich hatte eigentlich

N = ℚ (α, \bar{α}, β, \bar{β})

bzw. etwas einfacher

N = ℚ (α, \bar{α}, β)

schreiben wollen.

\\\\
Wenn ich beispielsweise

ℚ (\sqrt[3]{2} \cdot e^{i \frac{2 π}{3}})

betrachte, ist ja

\sqrt[3]{2} \cdot e^{- i \frac{2 π}{3}} \notin ℚ (\sqrt[3]{2} \cdot e^{i \frac{2 π}{3}})

.
Es ist

[ℚ (\sqrt[3]{2} \cdot e^{i \frac{2 π}{3}}) : ℚ] = 3

.
Aber es ist

\frac{\sqrt[3]{2} \cdot e^{i \frac{2 π}{3}}}{\sqrt[3]{2} \cdot e^{- i \frac{2 π}{3}}} = e^{i \frac{4 π}{3}}

und

{(e^{i \frac{4 π}{3}})}^{2} = e^{i \frac{2 π}{3}}

und

\sqrt[3]{2} = \frac{\sqrt[3]{2} \cdot e^{i \frac{2 π}{3}}}{e^{i \frac{2 π}{3}}},

so dass

ℚ (\sqrt[3]{2} \cdot e^{i \frac{2 π}{3}}, \sqrt[3]{2} \cdot e^{- i \frac{2 π}{3}}) = ℚ (\sqrt[3]{2}, e^{i \frac{2 π}{3}})

ist.
Schließlich erhält man dann

[ℚ (\sqrt[3]{2} \cdot e^{i \frac{2 π}{3}}, \sqrt[3]{2} \cdot e^{- i \frac{2 π}{3}}) : ℚ] = 6 \neq 3 = [ℚ (\sqrt[3]{2} \cdot e^{i \frac{2 π}{3}}) : ℚ]

.
\\\\

Wenn ich nun jedoch annehme, dass

\bar{α} \in ℚ (α)

ist, dann wäre das Minimalpolynom von

β

über

ℚ (α)

ein Teiler von

(X - β) (X - \bar{β})

. Also wäre der Grad des Minimalpolynoms

2,

falls

β \notin ℚ (α)

liegt, bzw.

1,

falls

β \in ℚ (α)

liegt.

Evtl. rechne ich dann doch einmal die Lösungsformel durch. Vielleicht kann man dann irgendwie besser erkennen, ob

\bar{α} \in ℚ (α)

bzw.

β \in ℚ (α)

ist. Oder siehst du da irgendeine einfachere Begründung?

ermanus aktiv_icon

11:58 Uhr, 15.09.2017

Hallo,

vielleicht irrt Maple ja, aber es sagt, dass die
Galoisgruppe von

x^{4} + x^{3} + 1

die volle

S_{4}

ist.
Wie man das zeigt, weiß ich nicht :(

Gruß ermanus

mihisu aktiv_icon

23:09 Uhr, 15.09.2017

Ok, das ist dann wohl nicht ganz so einfach.

Ich kann mir schon vorstellen, dass Maple da evtl. richtig liegt. Aber ich kann es selbst schwer nachprüfen, da die Nullstellen einfach zu "hässlich" sind, und ich auch sonst keine einfache Begründung finde.

Die Aufgabe, war übrigens eine Teilaufgabe auf einem Übungsblatt zur Vorbereitung auf eine Klausur. Ich wollte ein paar meiner Mitstudenten weiterhelfen, konnte die Aufgabe aber selbst nicht lösen. Das Übungsblatt ist jedoch nicht sehr sorgfältig erstellt worden, und ich glaube die Dozentin hat selbst gar nicht alle Aufgaben selbst gerechnet.

Falls jemandem noch etwas zur Aufgabe einfällt, kann dieser das gerne noch schreiben. Ansonsten betrachte ich die Frage nun als abgeschlossen.

Einen schönen Abend noch.

ermanus aktiv_icon

10:07 Uhr, 16.09.2017

Hallo Mihisu,

ich habe Maple nochmals gequält, um mir eine der vier Lösungen berechnen zu lassen.
Wie man sieht, tauchen hier eine 3-te Wurzel und 3 2-te Wurzelebenen auf,
was auch für die volle

S_{4}

spricht:

1386473

1386246

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?