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Zerlegung von Polynomen in Polynome 2ten Grades
Universität / Fachhochschule
Polynome
Tags: Fundamentalsatz, Komplexe Zahlen, polynom
 
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Hallo, ich habe während ich einen Beweis geführt habe ein Problem aufgeworfen, welches mir schlichtweg nicht aus dem Kopf geht: Der Beweis den wir führen sollten war, dass für Polynome mit reellen Koeffizienten gilt, dass für alle komplexen Nullstellen auch deren konjugierte Nullstellen sind. Das ist mir auch gelungen,über den Ansatz mit . Allerdings hatte ich zuerst einen Ansatz, der mir sehr schön erschien, allerdings auf eine Aussage führte, die ich auch nicht beweisen konnte, daher meine Frage, ob jemand dafür einen Beweis kennt. Ich werde den Beweis mal hier skizzieren: Nach dem Fundamtenalsatz hat ein Polynom vom Grad genau Nullstellen. Für reelle Nullstellen ist trivial, dass ihre konjugierten auch Nullstellen sind, da das konjugierte einer reellen Zahl diese selber ist. Jetzt mache ich eine Fallunterscheidung in Polynome mit ungerade und gerade: Für ungerade gilt: Mindestens eine Nullstelle ist reell (sollte über l'hospital und den Mittelwertsatz leicht zu zeigen sein). Also kann ich ein Polynome mit ungerade durch Polynomdivision auf ein Polynom von geradem Grad reduzieren (da für die reelle Nullstelle die Aussage ja auf jeden Fall stimmt.) Also hab ich übrig ein Polynom vom Grad welches jetzt auch einen geraden Grad hat, daher betrachte ich nur weiter den Fall gerade. Jetzt kommt die kritische Sache: Ich würde gerne in ein Produkt aus quadtratischen Funktionen zerlegen, die alle nur reellwertige Faktore haben. (Das ist möglich, wenn ich die Linearfaktorzerlegung anwende und die konjugierten Nullstellen jeweils multipliziere, aber die Aussage will ich ja beweisen, daher kann ich sie hier nicht verwenden). Wenn ich von diesen quadratischen Polynomen jetzt jeweils die Nullstellen berechne komme ich mit der pq-Formel auf die Form: Für behalte ich diese Form, für schreibe ich um in: was ja genau die Definition des konjugierten ist. Also die Frage: Gibt es einen (möglichst einfachen) Beweise, der die Zerlegbarkeit eines Polynoms vom Grad (mit nur reellwertigen Faktoren) in quadratische Funktionen (mit nur reellwertigen Faktoren) zeigt, der NICHT benutzt, dass das konjugierte einer Nullstelle auch eine Nullstelle ist? Vielen Dank für eure Antworten und viele Grüße Tobias Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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"zeigt, der NICHT benutzt, dass das konjugierte einer Nullstelle auch eine Nullstelle ist" Es ist nicht ausgeschlossen, aber er würde mit Sicherheit komplizierter sein. Also, wozu Rad neu erfinden? |
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Es ist nicht ausgeschlossen, aber er würde mit Sicherheit komplizierter sein. Also, wozu Rad neu erfinden? Es interessiert mich einfach, hat sicherlich keinen tieferen Zweck, aber könnte ein schöner Beweis sein. |
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Na dann viel Erfolg. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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