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Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre und Prädikatenlogik
Universität / Fachhochschule
Tags: Axiom, logik, mengen, Prädikatenlogik
 
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Hallöchen, seit kurzem beschäftige ich mich aus Interesse mit den Grundlagen der Mathematik und damit auch mit der Prädikatenlogik. Ich bin noch nicht sehr weit gekommen (sprich: habe mir bislang nur den groben Aufbau angeguckt), aber eine Sache ist mir nicht ganz klar: Anscheinend braucht man für den Aufbau der Prädikatenlogik Kenntnisse aus der Mengenlehre (z.B. bei der Definition der Signatur). Aber die Mengenlehre selbst (bzw. das Axiomensystem nach Zermelo und Fraenkel) ist in der Prädikatenlogik erster Stufe formuliert. Liegt bei mir ein Denkfehler vor, oder braucht man für die Formulierung der Prädikatenlogik Mengenlehre und für die Formulierung der Mengenlehre Prädikatenlogik? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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anonymous 14:17 Uhr, 30.08.2019 |
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Hallo, habe gerade den Wikipedia-Artikel zur ZF und ZFC überflogen, dort taucht dann auch der Satz "Als logische Grundlage dient die Prädikatenlogik der ersten Stufe mit Identität und dem undefinierten Elementprädikat " auf. Folgt man dem Link dorthin, so findet man dort in der Tat "Mengenlehre-Terme", sag ich mal... Stört dich das, vermutest du eine sich in den Schwanz beißende Schlange ? Es wird aber auch erwähnt, dass die ZF nicht widerspruchsfrei beweisbar, also nur "eine durch Erfahrung gehärtete Arbeitshypothese der Mathematiker" ist. Anbei, denn ich will mich hier nicht aufblähen: Ich lebe mathematisch gesehen noch in der Welt der Mengen und Multimengen nach Georg Cantor und habe erst ein neulich ein wenig über den Tellerrand geblickt (Lemma von Zorn, Paradoxon der Menge aller Mengen, die sich selbst nicht enthalten...)... |
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Hallo, ja genau das stört mich. Und das ist auch keine Inkonsistenz von Wikipedia; ich habe mir auch Fachbücher angeschaut, wo es anscheinend genau so gehandhabt wird. Zum Beispiel wird in "Mathematische Logik" (von Martin Ziegler, 2017 im Springer-Verlag erschienen) vorausgesetzt, dass man weiß, was Mengen, Funktionen, Tupel, etc. sind, um darauf die Prädikatenlogik sinnvoll aufzubauen. Ein paar Kapitel später werden die Zermelo-Fraenkel-Axiome eingeführt. Ich glaube aber, das hat mit der Widerspruchsfreiheit nichts zu tun. Denn, wenn ich das richtig verstanden habe, besagt Widerspruchsfreiheit lediglich nur, dass man keine widersprüchlichen Aussagen aus ZFC bilden kann. Ich frage mich, ob das bewusst so gewollt ist, dass man das eine braucht, um das andere zu verstehen, oder ob es eine Formulierung der Prädikatenlogik ohne Mengenlehre gibt. Meine Vorstellung von Axiom ist nämlich, dass es irgendwann "einen Anfang gibt", den man einfach als wahr akzeptieren muss. |
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anonymous 15:59 Uhr, 30.08.2019 |
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Ja, Axiome sind etwas, von dem man sich wünscht, dass es so ist, weil es so sein muss, damit man darauf aufbauen kann - die Pfeiler des Gebäudes der Mathematik, quasi, die aber nicht beweisbar sind. Man widerspreche mir, falls dieser Satz hinkt... Bezüglich deiner Zweifel kann ich leider nicht weiterhelfen, dafür hab ich nicht genug drauf, bin eher der pragmatische Typ Mathematiker und muss nicht unbedingt dicke Bücher über die Peano-Axiome oder so lesen. Vielleicht ändert sich das noch irgendwann einmal, aber im Moment reichen mir Dinge von der Stange wie "Analysis 2" voll und ganz. Viel Erfolg bei deinen Forschungen ! |
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Hallo, bin leider auch kein Spezialist auf diesem Gebiet. Ich denke, dass die Verwendung von "Mengen" in der Prädikatenlogik erster Stufe die ZFC-Mengenlehre nicht voraussetzt. Da man mit endlich vielen Konstantensymbolen, Funktionssymbolen und Relationssymbolen bei der Axiomatik der ZFC auskommt, gibt es hier kein Problem, z.B. gibt es nur ein Relationssymbol "". Die All- und Existenzquantoren sind rein formal zu verstehen, d.h. sie unterliegen einem Kalkül, Semantik spielt hier keine Rolle. Gruß ermanus |
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Hallo, vielen Dank für die Antworten. Ich habe ein bisschen weitergeguckt und mittlerweile (hoffentlich) eine Antwort von selbst gefunden. Für die, die es interessiert: Auf der Diskussionsseite zur Wikipedia-Seite von der Prädikatenlogik erster Stufe gab es eine rege Diskussion um genau dieses Thema. Soweit ich es verstanden habe, braucht man sehr wenig, um ZFC zu formulieren (an sich nur Zeichen, die man "aneinanderreiht"). Und sobald man ZFC zur Verfügung hat, kann man sich Funktionen, Relationen etc. und die restliche Prädikatenlogik definieren. Es gibt keine damit keine Zirkelschlüsse mehr. Als Fachbuch dazu wurde Bourbakis Mengenlehre empfohlen, welches ich mir wohl anschauen werde. |
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Genau den Bourbaki hätte ich auch als Nächstes genannt; denn hier wird das Ganze als System von "Sprachregeln": "was darf ich alles mit welchen Zeichen machen ..." abgehandelt. Gruß ermanus |
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